[精品]考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明

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1、关于等式与不等式的基本证明—、考试内容(一)介值定理介值定理：若/(X)在［d,S上连续，且f(a)f(b),对于f(af(b)之间的任一个数C,丐w(g,历，使/©=C・(*b)介值定理推论1(零点定理):若/(兀)在［a9b］±连续,且f(a)f(b)<0,则玮w(d,b),使/©=0.("")介值定理推论2(零点定理)：若/G)在(d,b)内连续，且/(a+W)<0,则址(讪,使/(^)=0.(,恥)介值定理推论3(零点定理)：若/⑴在(-oo,+oo)内连续，且limf(x)limf(x)<0,XT-oo.V—>+<»则珈(a,b),使f(^)=0.(如,0

2、)介值定理推论4：若/(x)在［讪上连续，fmin(x)=m,fmax(x)=M,且M冷,对于加,M之间的任一个数C,则使f©=C・(§可能取到cz或方)(二)代基本定理：任何一個非零的一元n次实系数多項式，都至多有n個实数零点.(三)积分中值定理定积分中值定理:若/⑴在［讪上连续，则昨(讪，使ebff(x)dx=f(^(b-a)・Ja定积分中值定理推论1:设/(Q,g(Q在［d,勿上连续，且g(Q在S"］上不变号,则m兵(ci,b)，使£f(x)g(x)dx=/(^)fg(x)dx.对于定积分中值定'理及其推论1,能取到Q或方.(四)微分中值定理罗尔中值定理：若/(

3、兀)在［恥］上连续,在(a,方)内可导,f(a)=f(b),则m兵(a,b),使f(^)=0.罗尔中值定理的推广形式1：若/(兀)在［a.b］±连续,在(％)内可导,且/(兀)有71>2个不同的零点，则广(兀)在(Q,/?)内至少存在斤-1个不同的零点.罗尔中值定理的推广形式2：若/(劝在⑺")内可导，且f(a+)=A=/0-),则日兵(⑦历，使广©二0.罗尔中值定理的推广形式3：若/(x)在S,+oo)内连续，在(G,+oo)内可导，Klim/(x)=f(a)9则日兵⑺使/@)=0.罗尔屮值定理的推广形式4：若/(兀)在［°,切上连续，在⑺力)内可导，且广⑴工0,则

4、/(无)在(Q,历内为单调函数.拉格朗日中值定理：若/(兀)在［a.b］±连续，在(d,b)内可导,则北w(67,b),使f(b)-f(a)=#©(b-a)・(五)不等式定理凹凸性不等式定理：若r(x)<(»o,则/⑴+/(刃5㈢/(土).22积分不等式定理：若/(x)>g(x),则『/(x)dxnf'g(兀皿(a

5、/(x)

6、^t(dVb)•二、典型例题题型一恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法ra+T/(x

7、)可积rt例1、求证：(1)

8、f(x)dx=If(x)dx,(2)J"f(x)=f(x^T)J0JrnT/(x)可积CT

9、f(x)dx=nf{x)dx.J。丿f(x)=f(x^T)JO7提示：(1)令F(a)=^+Tf(x)dx-^f(x)dx,cieR用求导法，这比用换元法方便且r(*+l)Tx=kT^uCTrTrTXL/(兀皿=XLNT+u)血=Xf0f^dx=,?Jo/(兀皿•k=0k=0k=0(2)令G(n)=f(x)dx-njJf(x)dx9用求导法错误，因neZ,用换元法方便匚"/(兀)心例2、设/(x)在［⑦b］上连续，且/(x)>0,若ff(x)dx

10、=0,则在［a,b］上，/(x)=0.证明：用反证法,假设xog(a,/?),/(x0)>0,则3(x0-^,x04-J)c(a.b)(6>0),ct)枳分中值定理/(x)>0,则£f{x)dx>y_sf(,x)dx=2龙©>0,金(兀0-力,兀o+力)・这与f/(x)dx=0矛盾，故原式得证.题型二方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法(1)/(兀)在［a,创或(讪上连续，则f直接W(^)使用介值定理［利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设/(x)在［°,甸上连续，Ka0,求证：方程(〃+今)/(兀)二pf(

11、c)+qf(d)在(q,〃)内至少有一根.提示:取F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d)在［c,d］上用零点Th.例2、设.f(朗在(-00,4-00)上连续，且lim凹=0,求证：珈(一8,+8)使X—X储)+§=0・证明:设F(x)=f(x)+%,则F(兀)在(-oo,+oo)上连续，limF(x)=limx

12、l+/⑴］=+oo,3xl>0,使F(x))>0片T+8XT+OO%同理，由limf(x)=-co,r.3x2<0,使F(x2)<0XT_8故,F(jc)在丸，勺］上满足零点定理，因而，原题得证.例3、/(兀)在［⑦方］上连续