§5 命题与证明

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1、§5命题与证明知识要点梳理1.有关概念⑴命题.命题由题设、结论两部分组成，分成真命题和假命题.⑵如果一个命题的题设和结论，分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称做互逆命题.⑶公理、定理、逆定理、证明.2.几条公理、定理公理：⑴两直线平行同位角相等.同位角相等两直线平行.⑵三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”.全等三角形的对应边相等，对应角相等.定理：⑴两直线平行内错角相等、同旁内角互补.⑵内错角相等两直线平行.同旁内角互补两直线平行.⑶角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.逆命题成立.三角形内心.⑷线段的垂直平分线上的点

2、到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题成立.三角形外心.⑸三角形内角和定理和推论.三角形中位线定理.⑹三角形全等：“AAS”.⑺等腰三角形“等角对等边”；“等边对等角”；“等腰三角形的三线合一”.等边三角形判定和性质.⑻直角三角形①斜边、直角边定理“HL”.②勾股定理及勾股定理的逆定理.③30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半.④斜边上中线等于斜边一半.3.反证法①假设，②推理，③矛盾，④结论.典型试题评析CFBEDGA例1﹙04山东﹚如图5-1，已知∠ADE＝∠B，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB.求证：CD⊥AB.证明：∵∠ADE＝B，∴

3、DE∥BC.∴∠EDC＝∠DCB.∵∠EDC＝∠GFB，∴∠GFB＝∠DCB.CD∥AB.图5-1∵GF⊥AB，∴CD⊥AB.[评析]在证明过程应正确应用两直线平行的性质及判定定理，两直线垂直的判定条件.例2如图5-2，AE＝AF，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，BF、CE相交于D，连AD.找出图中全等的三角形，并说明它们为什么全等.解：⑴△ABF≌△ACE.∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，§5命题与证明-5-又AE＝AF，∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE.（ASA）.DBCEFA⑵△AED≌△AF

4、D.∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，AE＝AF，∴Rt△AFD≌Rt△AFD.（HL）⑶△DEB≌△DFC.∵△ADF≌△ADE，∴DE＝DF.图5-2又∠DEB＝∠DFC＝90°，∠EDB＝∠FDC，∴△DEB≌△DFC.（ASA）⑷△ABD≌△ACD.∵△ABF≌△ACE，∴∠B＝∠C，AB＝AC.又△DFC≌△DEB，∴DC＝DB.∴△ABD≌△ACD.（SAS）[评析]⑴找图中的全等三角形注意不要遗漏.⑵哪一对全等三角形先证，运用什么判定公理(定理)，要根据条件，认真分析.⑶图中每对全等三角形都有不同的证明方法，请同学们细

5、细品味.例3﹙06山东日照﹚如图5-3，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB＝90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF＝90o，连结AE、BF.AOFBDEC求证：⑴AE＝BF；⑵AE⊥BF.证明：⑴在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO＝OB，OE＝OF.又∠AOE＝90°－∠BOE，∠BOF＝90°－∠BOE，∴△AEO≌△BFO.图5-3∴AE＝BF.⑵延长AE交OB于C，交BF于D，则∠BCD＝∠ACO，由⑴知：∠OAC＝∠OBF，∴∠BDA＝∠AOB＝90°，∴AE⊥BF.[评析]△BOF可以看作是由

6、△AOE绕着0点旋转而成.欲证△AEO≌△BFO，已经有两边相等，只需证夹角或另一边相等即可.当两线段（角）在不同两个三角形时，一般运用全等三角形对应边（角）相等予以证明；当两线段（角）在同一个三角形时，就应该考虑运用“等角对等边”或“等边对等角”予以证明.§5命题与证明-5-基础优化训练一、填空题1.﹙06福建南平﹚命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_________.2.﹙05广东﹚对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：⑴a∥b；⑵b⊥c；⑶a⊥b；⑷a∥c；⑸a⊥c，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成

7、一个你认为正确的命题_________.3.﹙05江西﹚如图，a∥b，则∠1＝________度.4.﹙06年广东茂名﹚七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知S△BPC=1，请你根据七巧板制作过程的认识，回答下列问题：⑴一只妈蚁从点A沿A→B→C→H→E所走的路线的总长是_____（结果精确到0.01）；40°160°ab⑵平行四边形EFGH的面积___________.AEBCFGD第3题图第5题图第4题图二、选择题5.﹙06江苏南通﹚如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，

8、∠EFG＝72°，则∠EGF的度数是().A.36°B.54°C.72°D.108°6.﹙06天津改造﹚如图，P、Q是△ABC边上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BA