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1、高考命题中的“心”趋势---例谈平面向量在三角形中常见的“心”问题平面向量是教材中新增内容,从近几年各地新课程试卷、上海高考卷、全国高考卷来看对平面向量的简单应用逐渐成为考查的热点.而有关三角形的知识是高考的常青树,三角形的“心”贯穿高考的始终.以下笔者就平面向量在三角形中常见的“心”（重心、垂心、内心、外心）问题谈谈自己的认识，供读者参考.1.向量与三角形的“重心”.ACP例1.(06连云港模拟测试题)在内求一点P，使取得最小值，该点是三角形的（）A、垂心B、内心C、重心D、外心解析:如图，设a，b，x.则Bxa,xb.∴=(xa)+(x
2、b)+x=3x2(a+b)x+a+b=3[x(a+b)]+a+b(a+b)根据向量运算的意义可知当x=(a+b)时,有最小值.设为中点,易知a+b=,此时为的重心.故选(C).评注:本题的关键在于联系重心的性质,构建一个以向量为变量的二次函数,因此,在解题中应消除只能以实数为变量的原有定势,只要任何一个量是变化的,不管量的性质如何,就可以作为变量,从而建立以这个量为变量的函数.DCBGEA例2.已知是平面内一点，若0,则是的()A、垂心B、重心C、内心D、外心解析:∵0,∴.以为邻边作平行四边形,则.6∴.又∵在中,交于.∴∴是的边的中线,
3、且.∴是的重心.故选(B).评注:本题联系重心的性质和向量加法的定义,把平面几何知识和向量结合起来解决问题.大家通过此题还应知道若是的重心,则有0.2.向量与三角形的“垂心”.例3.已知是所在平面内一点，满足取得最小值，该点是的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心解析:设a，b，c.则由得a+(cb)=b+(ac)=c+(ab)所以cb=ac即(ab)c=0即.故同理，.故是的垂心.故选(D).例4.(05湖南卷)已知是所在平面上一点，若,则是的()A、外心B、内心C、重心D、垂心解析:由得.即,即.∴同理,.所以是的垂心.故选(D).6评
4、注:例4、例5主要考察平面向量的运算,对已知条件进行变形,但是要注意两个非零向量垂直的充要条件是数量积为0.3.向量与三角形的“内心”.例5.已知是平面上的一定点，、、是平面上不共线的三点，动点满，则的轨迹一定过的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心解析:解法1(从分析已知条件入手)设为上的单位向量,为上的单位向量.则四边形为菱形.∴xOyBACD(P)B/C/的方向为∠的角平分线的方向.又∵∴的方向与的方向相同.而∴点在上移动.∴的轨迹一定通过的内心.故选(B).解法2(特值意识)设,,则.易知在∠的平分线上,轨迹过内心.故选(B).评注
5、:此题立意新颖,题眼是理解的几何意义,结合向量的运算法则即可求解.4.向量与三角形的“外心”.6例6.设是的外心,,,,若,则.解析:建立以中点为原点且、在轴上的平面直角坐标系,由题意知:yxOACDO/B=，∴.而=4.∴,.∴.设外接圆的半径为.∴由正弦定理得∴.作于.在中,∴.又由题知∴而.6∴解得∴.评注:本题涉及三角形的外心,必须了解三角形外心的性质,结合已知条件将其性质用向量表示即可.例7.(2005全国卷I理科15题)的外接圆的圆心为,两条边上的高为交点为,,OBAC(H)则实数.解析:解法1(特值意识)当为以为直角的直角三角
6、形时,如图1,与直角三角形顶点重合,,0,故,ABOEDC所以解法2(从等式的右边入手)设,由为的外心,则有,如图2.这样.再设由平行四边形法则知:,故在边的高上,同理在边的高上,OCBADH故为的垂心与重合,所以解法3(从等式的左边入手)作的外接圆的直径,连如图3,因为为的外心,有,,又为垂心,有.所以∥.同理∥.因此四边形为平行四边形,6=,所以解法4(从向量垂直定义入手)从的定义可以得到,ABCO由于,因此.∴.同理.由于与是不共线向量,因此(1)若不是等边三角形,≠0,(2)若是等边三角形,＝0,可以是任意实数.由于是对任意三角形成
7、立,所以评注:本题涉及三角形的外心和垂心,必须了解“两心”的性质,将这些性质用向量表示即可.6
