4函数的单调性及其应用

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1、函数）-旦的单调性及其应用1函数y=—的单调性及其相应的结论X用导数可证得：InY定理1（1）函数=—在（O,e],[e,+Q上分別是增函数、减函数（英图象如图1所示）.兀I1e11111、4-：7e1AXT-1图1（2）（2）当0时，ahba；③当0且avb时，ahe时,abba均有可能.2定理1的应用2.1推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论高考题1（2014年高考湖北卷第22题）龙为圆周率，e=2.71828…为自然对

2、数的底数.InX⑴求函数/«=——的单调区间；（2）（文）求"3,/,/,3〃,兀3这6个数屮的最大数与最小数；（理）将e3e,e^e,3^3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.下而给出这道高考题的解法.解(1)增区间为(0,c),减区间为(e,+oc).(2)(文)由(1)的结论还可证得结论：当eb"・由此结论,得e3>3e,e/T>;ry>tt3.又由幕函数、指数函数的单调性，得3”>/>3=所以所求最大数与最小数分别是3”3.(由此解法还可得结论：若eSdvbvc,则W

3、",b：3中的最大者、最小者分别是be9ba.)iny1e，(理)由⑴的结论可得一<-(0271引n/r>6-—>6-0^7T由式②，还可得2.72>2.7(2-0.88)=3.024>3(、(cIdtt>e2>2.72—l兀丿I再由(文)的解法可得，3”>7T3>L>7TC>e3>3C•定理2⑴若Ova】v«2<•••=匕"平工丿;ijw{l,2,・・・,〃}},则ma^=d“％,rni甸=Q『，且集合心的各元素中最大者、最小者均唯一；(2)若e<

4、a{2),iy;z,ye{1,2,,训，则max4=色一1""，血°4?=a2X，且集合&的各元素中最大者、最小者均唯一.证明对n用数学归纳法来证.(1)由定理1⑵②知,n=2时成立.②假设n=k(k>2)时成立：若0Vd[Vo?<•••<%5e(kn2)，4={再"平工{1,2,•••,/:}},则max/*=a^kA,min/^=q々.若Ovd

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6、}乂因为max{of4伽，，}=。严，max{a屛,%,,,a^k}=所以maxAk+i=max

7、maxAk,max{af,,,ciQ},max仏+「,ak+^2,,ak+]°kH=max&%,Qr""4+]""}=%曽(因为由定理1(2)②可得％+『>akaM>a严)又因为min[a^,勺伽,,a严'}=纠如,min{%「所以min4+]=min{minAk,min{a严，屮,,,a严'},min{%「,a』,,兔+『}}=niaxh“2,q^,@+「}=G「(因为由定理1(2)②可得q代<)得,2=£+1时

8、也成立.所以欲证结论成立.(2)①由定理1(2)②知，斤=2时成立.②假设n=k(k>2)时成立：若e2),=^，Jij;z,Je{1,2,,k}},则max4-色_,,mi%=.若e2),AM=ij;z,jg{1,2,,k+l}},贝9A+i=I{

9、，2,,色+/}}=max仏/,Q&如，色+「}=a严(因为由定理1⑵②可得<畋•+,

10、,G=^a^j,jk,ke{,2,3}^,则maxG=a^~',minG=a^~"・例1设G={d[d,Z?w{2,e,3,;r,4}},求maxG,minG・解由定理2(2),可得max#a,bw{e,3,兀,4}}=tt4,min{/a.bg{e,3,%,4}}=3e.由指数函数y=2r是增函数，可得max{2/7

11、/?e{e,3,兀,4}}=24,min

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