4 函数 的单调性及其应用

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1、函数的单调性及其应用1函数的单调性及其相应的结论用导数可证得：定理1(1)函数在上分别是增函数、减函数(其图象如图1所示).图1(2)②当时，；②当时，；③当且时，；④当且时，均有可能．2定理1的应用2.1推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论高考题1(2014年高考湖北卷第22题)为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间；(2)(文)求这6个数中的最大数与最小数；(理)将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．下面给出这道高考题的解法．解(1)增区间为(0,e)，减区间为．(2)(文)由(1)的结论还可证得结论：当时，．由此结论，得．又由幂函数、

2、指数函数的单调性，得．所以所求最大数与最小数分别是．(由此解法还可得结论：若，则中的最大者、最小者分别是．)(理)由(1)的结论可得．在此结论中，可令，得②由式②，还可得再由(文)的解法可得，．定理2(1)若，则，且集合的各元素中最大者、最小者均唯一；(2)若，则，且集合的各元素中最大者、最小者均唯一．证明对用数学归纳法来证．(1)由定理1(2)②知，时成立．②假设时成立：若，则．若，则又因为所以(因为由定理1(2)②可得)又因为所以(因为由定理1(2)②可得)得时也成立．所以欲证结论成立．(2)①由定理1(2)②知，时成立．②假设时成立：若，则．若，则又因为所以(因为由定理1(2)②

3、可得)又因为所以(因为由定理1(2)②可得)得时也成立．所以欲证结论成立．猜想(1)若，则；(2)若，则．例1设，求.解由定理2(2)，可得.由指数函数是增函数，可得.由幂函数是增函数，可得.所以(因为由定理1(2)②可得)2.2研究另3道高考题高考题2(2005年高考全国卷Ⅲ理科第6题)若，则()A.B.C.D.根C.由定理1(1)、图2及，可得选C.图2例2(文献[1]变式题1)设，其中e为自然对数的底数，则的大小关系为()A.B.C.D.原解因为，且，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以.又，所以.因此，，A正确.订正笔误原解的最后一行有误，应订正为“因此，，C正确”.质疑原解

4、中的“”即“”是怎么来的？简解C.由定理1(1)及，可得选C.注简解也给出了的证明.高考题3(2001年高考全国卷理科第20题)已知是正整数，且.(1)证明(注：原题是“证明”，两者意义相同)；(2)证明.证明(1)略.(2)即证.设，得.由，得，所以，即函数在上是减函数，所以，即欲证成立.注用同样的方法(但还须对由的分子得到的函数再求导)还可证得：若，则.高考题4(1983年高考全国卷理科第9题)(1)已知为实数，并且，其中e是自然对数的底，证明；(2)如果正实数满足，且，证明.证明(1)由推论立得.(2)由正实数满足，得.再由，得.再由反证法及定理1(2)②可得欲证结论成立.2.3

5、关于x的方程Z)根的个数下面再用定理1来讨论关于x的方程Z)②根的个数.定理3(1)若为奇数，则(i)当且仅当时，方程②根的个数是0；(ii)当且仅当或时，方程②根的个数是1；(iii)当且仅当时，方程②根的个数是2.(2)若为奇数，则(i)当且仅当时，方程②根的个数是0；(ii)当且仅当或时，方程②根的个数是1；(iii)当且仅当时，方程②根的个数是2.(3)若为非零偶数，则(i)当且仅当时，方程②根的个数是1；(ii)当且仅当或时，方程②根的个数是2；(iii)当且仅当时，方程②根的个数是3.(4)若为非零偶数，则方程②根的个数是0.证明(1)易知方程②的的根.可设，可得均是正数.

6、还可得关于x的方程②根的个数即关于t的方程是奇数;也即是奇数)根的个数.由定理1(1)及图1，可得(i)当且仅当即时，方程②根的个数是0；(ii)当且仅当或即或时，方程②根的个数是1；(iii)当且仅当即时，方程②根的个数是2.(2)易知方程②的的根.可设，得.还可得关于x的方程②根的个数即关于的方程是奇数)根的个数.再由结论(1)可得结论(2)成立.(3)易知方程②的的根.可设，可得均是正数，.还可得关于x的方程②根的个数即关于t的方程是非零偶数;也即是非零偶数)根的个数.由定理1可作出函数的图象如图3所示：图3由图3可得(i)当且仅当即时，方程②根的个数是1；(ii)当且仅当或0即

7、或时，方程②根的个数是2；(iii)当且仅当即时，方程②根的个数是3.(4)显然成立.读者还可讨论关于x的方程R)根的个数(可参考上面的研究方法和文献[2]).参考文献1何勇波.一道课本题根的推广与应用[J].数学通讯，2015(4下)：29-322甘志国.幂、指函数图象交点个数的完整结论[J].中学数学月刊，2008(9)：30-32