初高中衔接-数学专题四--二次函数

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1、专题四二次函数的性质与三种表示方式【要点冋顾】1.函数图象［1］一次函数：y=kx+b（k、〃是常数，舜0）称y是兀的一次函数，特别的，当b=0时，称y是兀的正比例函数。［2］正比例函数的图象与性质：函数y=kx（k是常数，辱0）的图象是的一・条直线，当I］寸，图象过原点及第一、第三象限，y随兀的增大而:当时，图象过原点及第二、第四象限，y随兀的增大而•⑶一次函数的图象与性质：函数y=kx+b{k.方是常数，修0）的图象是过点（0,b）且与直线歹=也平行的一条直线.设y=kx+b（m，贝0当时，y随兀的增大而；当时，y随兀的增大而.［4］反比

2、例函数的图象与性质：函数y=-（^0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随兀的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随兀的增大而.双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x与）又是中心对称图形，对称中心是原点.二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质问题1函数y=ax^与y=/的图象之间存在怎样的关系?为了研究这一问题，我们可以先画出加?的图象，通过这些函数图象与函厶数的图象之间的关系，推导出函数〉，=赤与的图象之间所存在的关系.先画出函数y=x2,y=2?的图象.先列表：X•••-3-2-10123•••••

3、•9410149•••2“•••188202818从表屮不难看出，要得到2?的值，只要把相应的，的值扩大两倍就可以了.图2.2-1再描点、连线，就分别得到了函数yy=2?的图彖（如图2—1所示），从图2—1我们可以得到这两个函数图彖之间的关系：函数y=2“的图象可以由函数y=?的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数的图象，并研究这两个函数图象与函数y=r的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=的图象可以由y=/的图彖各点的纵坐标变为原来的d倍得到.在二次函数y=ajc{a^中，

4、二次项系数d决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a（x+h）2+k与y=ox2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系•同学们可以作出函数y=2（x+l）2+l与的图彖（如图2—2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2/的图彖先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2（兀+1）2+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3（x~l）2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上

5、面的研究，我们可以得到以下结论:二次函数丿二必工+疔+殳（舜0）中,决定了二次函数图象的开口大小及方向；方决定了二次函数图象的左右平移，而且叫正左移，力负右移”；％决定了二次函数图象的上下平移，而且他正上移，*负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+hx+c（a^）的图象的方法：由于y=cvc2+bx+c=a(x1+—x)+c=a(x1+—x+^-^)+caa4crb2zb,h2-4ac图222——=a（x+—）_+,4d2a4a所以，y=cvc2+bx+c^0）的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移得到的，于是

6、，二次函数加+c（舜0）具有下列性质：（1）当“>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为（丄严」少）,对称轴为直2a4a线x=—知当时，『随着X的增大而减小；当如€时，，随着兀的增大而增大；当兀函数取最小值尸窖（2）当aVO时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为（丄严—少）,对称轴为直2a4ab；当xV-£•时，y随着x的增大而增大；当兀〉-当■时，y随着兀的增大而减小；当工2a2a=-当■时，函数取最大值丿=2a4ac-b24a上述二次函数的性质可以分别通过图2・2-3和图2・2—4直观地表示出来.因此，在今后

7、解决二次函数问题时,利用数形结合的思想方法来解决问题可以借助于函数图像、例1求二次函数—3x2—6x+l图彖的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当兀取何值时，y随兀的增大而增大（或减小）？例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：无/元130150165“件705035若FI销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例3把二次函数y=疋+加的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，

8、得到函数的图像，求4c的值.巩固练习1、下列函数图象屮，顶点不在坐标轴上的是()(A)y=2?(B)y=2x2-4x+2(C)y=2<—1(D)y=2x2—4x2、