专题02函数与导数-2019高考数学（理）热点题型

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1、函数与导数热点一利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的儿何意义，研究函数的性质，是高考的热点、重点.本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.【例1】设函数/U)=(l_#)e：⑴讨论f(x)的单调性；(2)当时，求正实数臼的取值范围.解(l)f(x)=-Ixe1+(1-(1-2x-令『©)=0,得0+2x—l=O,解得韵=一迈一1,助=迈一令贝

2、」工€〔一迈一1,迈一1),

3、令f(x)vo,贝1^€(—8,一迈_1)U〔迈一1,4-co).・・无)在区间〔一8,-迈一1),+8)上单调递减，在区间〔一迈一1,迈一1)上单调递増.(2)f(x)=(1+x)(1—%)ev.当自$1时，设函数A(%)=(l-%)eh1(%)=-%er<0(%>0),因此力匕)在［0,+<-)上单调递减，又力(0)=1,故力d)Wl,所以f(方=(%+1)力(x)Wx+1Wax+1.当00(x>0),所以gd)在［0,+8)上单调

4、递增.又g(0)=0,故ex>x+l.当0<水1时,f(x)=(1—丸)(l+x)e'2(1—方(1+方2,又(1—a)(1+a)2—{ax+V)=x(l—a—x—x),取3弓也,则心0,1),(1—Ao)(1+ao)2—aAo—1=0,故f(xo)>2¥o+l.综上可知，正实数臼的収值范围是［1,+-).【类题通法】⑴判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断尸3的符号问题上，而尸匕)〉0或尸(方〈0,最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.(2)若己知礼0的单

5、调性，则转化为不等式尸匕)20或尸gw0在单调区间上恒成立问题求解.【对点训练】设f3+2ax.(1)若fd)在(I，+8)上存在单调递增区间，求吕的取值范围；(2)当0V臼V2时，代方在［1,4］上的最小值为一学，求f(x)在该区间上的最大值.解W(x)=—0+兀+购由题意得，/a)x)在d，+8)上有解，只需即討加>0,得q>-*一所以，当q—輒妙在d，+8)上存在单调递増区间一(2)已矢口0

6、=£,・・・f(l)=-l+l+2a=2^>0,r(4)=一16+4+2臼=2臼一12<0,则必有一点心丘［1,4］,使得尸(心)=0,此吋函数f(x)在［1,浙］上单调递增，在［/,4］上单调递减，Al)=-

7、+

8、+2a=

9、+2a>0,/1.1.40.16/(4)=—§X64+㊁X16+8$=—§+8$=—§=>日=1.此时，由尸(池)=—并+心+2=0=心=2或一1(舍去)，所以函数fa)mnx=f(2)=耳.热点二利用导数解决不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解

10、答题的形式考查，难度较大，属屮高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)求解不等式；(3)不等式恒(能)成立求参数.【例2】(满分12分)己知函数f(x)=lnx+ax+(2a+l)x.(1)讨论fd)的单调性；3(2)当从0时，证明f(x)W—-—2.4a教材探源本题第⑵问的实质是证明山(一曲+±+lW°，是不等式的变形，源于教材选修2-2P32习题B1,是在教材基本框架e”>l+x与心1+Injv基础上，结合函数性质，编制的优美试题.满分解答（1）解代力的定义域为（0,+-）

11、,f3=丄+2站+2曰+1="力卄1）（x+1）.1分（得分点1）XX若日20时，则当（0,+8）时，f（力〉0,故f（x）在（0,+s）上单调递增，2分（得分点2）若日〈0时，则当％丘（0,—时，F（力>0;当/，+°°）时，F（x）<0.故fd）在（0,—上单调递增，在（一±，+8）上单调递减.5分（得分点3）⑵证明由⑴知、当X）时、用）在x=-痔处取得最大值，最犬值为f（-£）=5（-舟）-1一占所以用）W-言-2等价于1H（-为-[-右W-言-2,即M一昜+舟+1WS*分〔得分点4）设烈

12、x）=1hhp+1>则O）=扌-L当x€（o,1）时,"）>o；x€（i,+8）时，g（x）