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《10考研高等数学强化讲义(第七章)全》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七章多元函数积分学§7.1二重积分(甲)内容要点一、在直角坐标系屮化二重积分为累次枳分以及交换积分顺序问题口诀(40)：多重积分的计算，累次积分最关键。模型L设冇界闭区域D={(x,y)kz(x)上连续则JJ7(x，y)db=y)clxdy=dyf(x,y)dxDDK>，
2、关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算,对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I屮关于D的要求，又不符合模型II屮关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角处标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。口诀
3、（41）：交换积分的顺序，先要化为重积分。二、在极坐标系屮化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定0对卩进行积分，然后再对0进行枳分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I设有界闭区域D={(SQ<0<0,0©)"<02(绷:其中0（0）,02（〃）在b，0］上连续,/（x,y）=/（了cos0』sin&）在上连续。则cossin莎力込血&梯w模型II设有界闭区域0'PD={(了,&)1a<0<0,0
4、dcr=jj/(/cos^,/sin^)/dydO=fcos。』sindyDD（乙）典型例题一、二重积分的计算例1•计算^e~y'dxdy,其屮D由y=x,）7=1和『轴所1韦【区域D那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。^e~ydxdy=e~ydxD这时先对兀积分，厂风当作常数处理就可以了。原式=例2.计算jjjy-x2dxdyl*i()SyS2解：原式=^dxf-yjx2-ydy+j~,^y-x2dy=J"一MX一y）+[dxfJy—兀2〃（歹一兀2）y=Xx^y=03y=2idxy=x3.2dxH—3例3.求/=D［（2一，阳=
5、
6、+"2+于+yj/crx2+F<4•（兀+1）2+八1解7n-nDD天鬪D小羁fjV%2+y2+=JJJ〒+）,2db+o（对称性）Dxad人si=detr2dr=~nn=+o=f朋广Q畑=罟D小冏恻2••・JJ（J，+y2+»<7=普（3龙一2）D伙解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知JJydcr=0D+y2da=2+y2daDD上原式=2JJJ兀2+『2〃/+JJ^/x2+y2daD
7、」Q
8、.24—7T+-71-3<4匹、2…6諾（3—2）二、交换积分的顺序例1.交换『dx二/（x,y}dy的积分顺序解：原式二^f{x,y）dxdy其中D由
9、y=y）2ax-x2和y=』2ax以及x=2a所围的区域D=D'UDqUD、IIIy=』2axy=2ax-x2解出x=a±yja2-y2因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得原式二£dyE'"7/(x,y)dx+£f：応^/(x,y)dx+『dy$/(兀,y)dx2aF"一'2a例2.设广（y）连续，证明=兀
10、了（。）_于（0）］证明：交换积分次序人a+ya-y.niIfa-y.令兀=sin/,贝Udx=costdt,222a-y/rcosrI=（广=fy）dy=/（0）］2cosr2例3.计算/=£e~xdx解：厂=『”厶「八&=f^
11、e^dxcly714三、二重积分在几何上的应用1.求空间物体的体积（数学一）例1.求两个底半径为R的匸交圆柱面所围立体的体积解：设两止交圆柱面的方程为，+y2=R2和兀2+=尺2,它们所围立体在第一卦限中的那部分体积V}=_兀2dxdyI）其中D为OSxWR,00）所围（包含原点那—•部分）的体积解：v（=4^4R2-x2-y2dxdy其中D为丿？平而上y=^2Rx-x2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算V=4^4R2-
12、r2rdrd0=4fd0^R1-r2raJ"3,1.求曲而的面积（数学一）§7.2三重积分（数
