【青岛版】八年级数学下册专题讲练:巧用勾股定理解决几何问题试题

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1、巧用勾股定理解决几何问题【重点难点易错点点点蒂通】一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1.构造直角三角形根据题意,合理构造直角三角形,比如等腰三角形中的求值或面积问题,经常作高构造直角三角形。如:在ABC中,AB二AO5,BC二8,求三角形ABC的面积。JSr答案:12。1.利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示,列出方程,解出所求值。(1)在翻折问题中,大多数求值都是这种应用如:如图,矩形纸片ABCD中,AB二8,AD二6,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为多少,?答案:3o(2)求折断物体长度时,使用方程如:一根竹子高10尺,折断后竹子顶端•落在

2、离竹子底端3尺处,折断处离地而高度是多少?答案:学尺。20ABC2.分类讨论思想己知一个克角三角形的两边长,并没有指明是直角边还是斜边,因此要分类讨论。如:已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm,求第三边的长。B答案:5cm或V7cmo1.数形结合思想几何与代数问题的综合。如:在一棵树的5米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树10米的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?2x答案:7.5米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1.含有30°角的直角三角形(1)30°角所对的•直角边是斜边的一半;(2)60°角所对的直角边是30°角所对直

3、角边的巧倍。2.等边三角形高等于边长的BBDC总结:(1「)勾股定理的几何应用是学习的重点内容,要在直角三角形中灵活运用。(2)要有意识的训练自己辅助线的添加,经常性的•思考不同问题的不同添加法。【真題难题名校题题題经典】例题AAB是直角三角形,且AASBf,AA丄A】B,垂足为As,A3A4±A2B,垂足为AD.A4A5丄A3B,垂足为A5,…,An+1A”2丄AnB,垂足为A®则线段A”皿(口为自然数)的长为()B.厂(V2)w+,上2解析:先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出八2仏及总心的长,找出规律即可解答.答案:T△A1A2B是直角二角形,且A1A2—A2B—a,A2A3丄

4、AiB,/.AiB—yjd~+CC=yl~ici,•••△AAB是等腰直角三角形,1aA2A3=AiAa=—A:B==—f=,227F同理,△A2A:5B是等腰直角三角形,A?A:尸AmB二42aA:Ai丄A?B9A2B=a,A3A1—A2A1——AiB——i—,22运・・・线段九加(n为自然数)的长为故选Ao点拨:规律性题目,涉及到等腰三角形及直角三角形的性质,解答此题的关键是求出A2Aa及AA的长,并找出规律.【拓展总结+程升藕分必读】分类讨论求值近年来,在各地屮考试题屮涉及“分类讨论”的问题十分常见,因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法,而且考查了同学们思维的深刻性。

5、在解决此类问题时,因考虑不周全导致失分的较多,究其原因主要是平吋的•学习中,尤其是在中考复习吋,对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑•不同情况下的求值。例题在AABC中,八B二13,AC二15,BC边上的高AD二12,则边BC的长是()A.14B.4C.14或4D.辰解析:分两种情况讨论:锐角三角形和钝角三角形,根据勾股定理求得BD、CD,再由图形求出BC,在锐角三角形中,BOBD+CD,在钝角三角形中,BC=CD-BD・答案:解:(1)如图,锐角AABC中,AB=13,AC=15,BC边上高AD=12,在RtAABD中AB二13,AD二12,由勾股定理得:BD2=

6、AB2-AD2=132-122=25,则BD二5,在RtAACD中AC二15,AD二12,由勾股定理得:CD=AC2-AD2=152-122=81,则CD二9,故BC的长为BD+DC二9+5二14;(2)钝角ZSABC中,AB二13,AC二15,BC边上高AD二12,在RtAABD屮AB二13,AD二12,由勾股定理得:BD2=AB-AD2=132-122=25,则BD二5,在RtAACD中AC二15,AD二12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则CD二9,故BC的长为DC-BD二9一5=4・综上可得BC的长为14或4.故选C.生活中的勾股定理方案设计在实

7、际生活屮应用勾股定理。例题某园艺公司对•一块直角三角形的花园进行改造,测得两直角边长分别为沪6米,b二8米.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以b为直角边的直角三角形,则扩建后的等腰三角「形花圃的周长为(A.32或20+475)米B.32或36或聖3C.32或聖或20+4腭3onD.32或36或一或20+4V53解析:由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定,若设扩充所得的三角形是AABD,则应分为①AB二AD,②AD二BD两种情况进行讨论.答案:解:女口

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