【青岛版】八年级数学下册专题讲练《巧用勾股定理解决几何问题试题

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1、青岛版八年级数学下册专题讲练含答案巧用勾股定理解决几何问题一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1.构造直角三角形根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。如：在ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面积。答案：12。2.利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少？答案：3。（2）求折断物体长度时，使用方程如：一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹

2、子底端3尺处，折断处离地面高度是多少？答案：尺。3.分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。如：已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长。10青岛版八年级数学下册专题讲练含答案答案：5cm或cm。4.数形结合思想几何与代数问题的综合。如：在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树10米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？答案：7.5米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1.含有30°角的直角三角形（1）30°角所对的直角边是斜边的一半；（2）60°角所对的直角边是30°角所对直角边的倍

3、。2.等边三角形高等于边长的倍。总结：（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。　例题A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，…，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+2（n为自然数）的长为（　　）A.B.C.D.10青岛版八年级数学下册专题讲练含答案解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长，找出规律即可解答．答案：∵△A1A2B是直角三角形，且A

4、1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，∴A1B==，∵△A1A2B是等腰直角三角形，∴A2A3=A1A3=A1B==，同理，△A2A3B是等腰直角三角形，A2A3=A3B=，A3A4⊥A2B，A2B=a，A3A4=A2A4=A1B=，∴线段An+1An+2（n为自然数）的长为．故选A。点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长，并找出规律．分类讨论求值近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原

5、因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。例题在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则边BC的长是（　　）A.14B.4C.14或4D.解析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD、CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．答案：解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在Rt

6、△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为DC-BD=9-5=4．综上可得BC的长为14或4．故选C．10青岛版八年级数学下册专题讲练含答案（1）（2）生活中的勾股定理方案设计在实际生活中

7、应用勾股定理。例题某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=6米，b=8米．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（　　）米A.32或20+4B.32或36或C.32或或20+4D.32或36或或20+4解析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AD=BD两种情况进行讨论．答案：解：如图所示：在