八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理的综合使用试题 （新版）青岛版

《八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理的综合使用试题 （新版）青岛版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、勾股定理的综合使用一、勾股定理1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，那么2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常见方法如下：定理证明，，化简可证。，大正方形面积为，所以。，，化简得证。二、定理适用范围及应用1.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角

2、形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。2.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在中，，则，，；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③可运用勾股定理解决一些实际问题。总结（1）掌握好定理的内容及基本证明；（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。例题1已知直角三角形斜边上的中线长为1，周长为2+，则这个三角形的面积为（）A.B.1C.2D.解析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计

3、算。答案：解：设两直角边长分别为x、y；∵直角三角形斜边上的中线长为1，故斜边长为2。周长为2+=x+y+2，得x+y=。①由勾股定理得＝2。②①②联立解得xy=1，故这个三角形的面积为xy=。故选A。例题2在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A.5B.4C.6D.10解析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利

4、用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。答案：解：如图∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，∠ACB＝∠BED∠CAB＝∠EBDAB＝BD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2

5、+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。故选C。分类讨论思想的应用例题在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为。解析：分①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的

6、性质可得BD=AB，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解。答案：解：①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD==4，∵∠ABC=45°，∴BE=DE=AD=×4=2，BE⊥AD，∵BC=1，∴CE=BE－BC=2－1=1，在Rt△CDE中，CD==；②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=AB=2，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE=2，∵B

7、C=1，∴CE=BE+BC=2+1=3，在Rt△CDE中，CD==，综上所述，线段CD的长为或。图形变换的证明例题如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2。解析：根据全等三角形的判定解决第一个问题，将图形转换位置，使AD、DB、DE转化到同一个图形中，利用勾股定理进行证明。答案：证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE。∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD。（2）∵△ACB是等腰直角三角形

8、，∴∠B=∠BAC=45