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时间:2020-08-29
《【青岛版】八年级数学下册专题讲练 勾股定理的综合使用试题 含答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、勾股定理的综合使用一、勾股定理1.定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为、、斜边为、那么2.勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多、常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形经过割补拼接后、只要没有重叠、没有空隙、面积不会改变;②根据同一种图形的面积的不同表示方法、列出等式、推导出勾股定理.常见方法如下:定理证明、、化简可证.、大正方形面积为、所以.、、化简得证.二、定理适用范围及应用1.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所
2、存在的数量关系、它只适用于直角三角形、对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征、因而在应用勾股定理时、必须明了所考查的对象是直角三角形.2.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长、求第三边;在中、、则、、;②知道直角三角形一边、可得另外两边之间的数量关系;③可运用勾股定理解决一些实际问题.总结(1)掌握好定理的内容及基本证明;(2)求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值.例题1已知直角三角形斜边上的中线长为1、周长为2+、则这个三角形的面积为()A.B.1C.2D.解析:由中线长可得斜边长、根据周
3、长已知、可列出另外两边的方程、再根据勾股定理列出另一个方程、联立解得两直角边长、再利用面积公式进行计算.答案:解:设两直角边长分别为x、y;∵直角三角形斜边上的中线长为1、故斜边长为2.周长为2+=x+y+2、得x+y=.①由勾股定理得=2.②①②联立解得xy=1、故这个三角形的面积为xy=.故选A.例题2在直线l上依次摆放着七个正方形、已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3、正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4、则S1+2S2+2S3+S4=()A.5B.4C.6D.10解析:先根据正方形
4、的性质得到∠ABD=90°、AB=DB、再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE、则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE、于是有AC=BE、然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2、代换后有ED2+AC2=BD2、根据正方形的面积公式得到S1=AC2、S2=DE2、BD2=1、所以S1+S2=1、利用同样方法可得到S2+S3=2、S3+S4=3、通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6.答案:解:如图∵图中的四边形为正方形、∴∠ABD=90°、AB=DB、∴∠ABC+∠DBE=90°、∵∠A
5、BC+∠CAB=90°、∴∠CAB=∠DBE、∵在△ABC和△BDE中、∠ACB=∠BED∠CAB=∠EBDAB=BD、∴△ABC≌△BDE(AAS)、∴AC=BE、∵DE2+BE2=BD2、∴ED2+AC2=BD2、∵S1=AC2、S2=DE2、BD2=1、∴S1+S2=1、同理可得S2+S3=2、S3+S4=3、∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6.故选C.分类讨论思想的应用例题在△ABC中、AB=2、BC=1、∠ABC=45°、以AB为一边作等腰直角三角形ABD、使∠ABD=90°、连接CD、则线段
6、CD的长为.解析:分①点A、D在BC的两侧、设AD与边BC相交于点E、根据等腰直角三角形的性质求出AD、再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD、然后求出CE、在Rt△CDE中、利用勾股定理列式计算即可得解;②点A、D在BC的同侧、根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB、过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E、判定△BDE是等腰直角三角形、然后求出DE=BE=2、再求出CE、然后在Rt△CDE中、利用勾股定理列式计算即可得解.答案:解:①如图1、点A、D在BC的两侧、∵△ABD是等腰直角三角形、∴AD==4、∵∠
7、ABC=45°、∴BE=DE=AD=×4=2、BE⊥AD、∵BC=1、∴CE=BE-BC=2-1=1、在Rt△CDE中、CD==;②如图2、点A、D在BC的同侧、∵△ABD是等腰直角三角形、∴BD=AB=2、过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E、则△BDE是等腰直角三角形、∴DE=BE=2、∵BC=1、∴CE=BE+BC=2+1=3、在Rt△CDE中、CD==、综上所述、线段CD的长为或.图形变换的证明例题如图、△ACB和△ECD都是等腰直角三角形、∠ACB=∠ECD=90°、D为AB边上一点、求证:(1)△
8、ACE≌△BCD;(2)AD2+DB2=DE2.解析:根据全等三角形的判定解决第一个问题、将图形转换位置、使AD、DB、DE转化到同一个图形中、利用勾股定理进行证明.答案:证明:(1)∵∠ACB=∠ECD、∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE、即∠BCD=∠ACE.∵BC=AC、DC=EC、∴△ACE≌△BCD.(2)∵△ACB是等腰直角三角形、∴∠B=∠BAC=45
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