【青岛版】八年级数学上册专题突破讲练：巧用分式方程的增根解决问题试题

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1、巧用分式方程的增根解决问题【重点难点易错点点虐蒂渔】一、解分式方程的步骤:分式方程等号两边同乘最简公分母等于0,XP是增根不等于0,xp是分式方程的根整式方程代入检验二、分式方程增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程屮，若整式方程的根使最简公分母为0,那么这个根叫做原分式方程的增根。三、产生增根的原因：增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的。因为等号两边同乘以的最简公分母有可能是0,因此就有可能产生满足整式方程，但是不满足分式方程的根。注意：1.解分式方程必须要验根；2.验根时只需要把求出的/的值代入最简公分母屮，看是否为0。四、常见的题型：1.求

2、增根问题：方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母，若为零是增根，若不为零是原方程的根。2.根据增根求待定系数问题：步骤：①去分母，化分式方程为整式方程;②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。【真卷难题名校鬆卷題经典】例题1若关于X的方程竺巴-1=0有增根，则日的值为。X-1解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出日，答案：原方程可化为：G—l）x+2=0①又原方程的增根是x=l,把x=l代入①，得：a=-l故应填“_1”。点拨：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；

3、③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值。例题2当臼収何值时，解关于x的方程：兰二1一亠=/2/:处无增根?x-2x+1（兀一2）（兀+1）解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出纽最后从保证整式方程有实根的白的取值范围小把产生增根的日的值去掉。答案：原方程可化为：2/+cix—3=0①又原方程的增根为尸2或兀=一1,把尸2或x=-l分别代入①得：a=-3或0=-12又由△=6^+24>0知，日可以取任何实数。所以，当且。工-1时，解所给方程无增根。2点拨：解答此类问题的基木思路是：（1）将已知方程化为整式方程；（2）由所得整式方程，求出有增根的字母系数

4、的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范RI；（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的収值范围。yk—例题3当&的值为——（填出-个值即可）时，方程荷=十只有-个实数根。解析：先化成整式方程（即一元二次方程）分两种情况：（1）一元二次方程有两个相等实根。（2）有两个不等实根，且有一个是增根。答案：原方程可化为：x2+2x-k=0①要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：（1）当方程①有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以rtlA=4+4Z:=0得k=-lo当扫一1时，方程①的根为=x2=-1,符合题意。（2）方程①有两个不相等的实数根且其中有

5、一个是原方程的增根，所以由△=4+4k>0,得A>-lo又原方程的增根为尸0或尸1,把尸0或尸1分别代入①得扫0,或侣3,均符合题意。综上所述：可填“一1、0、3”屮的任何一个即可。点拨：本题要分清方程的增根和方程无根的区别。【拓展总结+提升藕分必读】分式方程无解是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解。例题2⑴当d为何值时，关升的方程ax①会产生增根?2ax3（2）当必何值时’关于沛方程「r不r忌①无

6、解?解析：（1）首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。（2）除了考虑笫（1）种情况外，此时还要考虑转化后的整式方程（臼一1）x=-10本身无解的情况。答案：（1）方程两边都乘以（丹2）（犷2）,得2（/+2）+自/=3（X—2）整理得（日一1）/=—10②若原分式方程有增根，则x=2或一2是方程②的根，把x=2或一2代入方程②中，解得，日=一4或6。（2）方程两边都乘以（丹2）（犷2）,得2（x+2）+臼廿=3（%-2）整理得（臼一1）^=-10②若原方程无解，则有两

7、种情形：①当日一1=0（即日=1）时，方程②为0尸一10,此方程无解，所以原方程无解。②如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。此时由（1）可知，日=一4或60综上所述，日=1或日=一4或日=6时，原分式方程无解。点拨：弄清分式方稈的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。（答题时间：45分钟）一.选择题7m1.（岳阳）关于x的分式方程一+3=—有增根，则增根为（）x-lx-iA.尸1B.x=—C.尸3D.a=—33X—14-7772.若分式方程==——有增根，则它的增根是（）兀-一4x+

8、2A.1B.2或一2C.