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1、§5.1平面向量的概念及线性运算基础知识・自主学习n知识梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既冇大小又冇方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称搦平而向量是自山向量零向量长度为2_的向最；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量4的单位向量为墙平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向最平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向屋运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算a三角形法则a平
2、行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).减法求a与b的相反向量一〃的和的运算叫做aljb的差~a~三角形法则a~b=a~~{—b)数乘求实数N与向量a的积的运算(1)
3、xa
4、=
5、z
6、
7、a
8、；(2)当2>0时，肋的方向与a的方向相同；当2v0时,加的方向与a的力向相反;出U=0z(/za)=(2/z)a；&(a+b)=Aa+肋时，Aa=03.共线向量定理向量应工0）与b共线，当R仅当有唯一一个实数久，使*加.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“厂或“X”）（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来
9、表示向量.（）⑵⑷与I川是否相等与a,方的方向无关.（）（3）已知两向量a,b,若
10、a
11、=l,0
12、=1,贝Ij
13、a+Z>
14、=2.（）屮，D是BC屮点，则25=^（AC+AB）.（）（5）向量乔与向量圧>是共线向量，则B,C,D四点在一条直线上.（）⑹当两个非零向量a,方共线时，一定有b=ki,反Z成立.（）考点自测1•设例）为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=ia]a（）；②若a与a（）平行，则a=aa{}；③若a与例）平行且測=1,则a=a（）.上述命题屮，假命题的个数是（）A.0B.1C.2D.32.已知O,A,〃是平面上的三个点，直线AB±冇一点
15、C,满足2AC+CB=0,则冼等于（）A.20A-0BB.-0A+20BC.^OA-goB3.己知D为三角形的边3C的屮点，点P满足茹+寿+彷=0,AP=）.PD,则实数久的值为4.在口ABCD中，AB=atAD=btAN=3NCfM为的中点，则济=.（用a,〃表示）题型分类・深度剖析题型一平面向量的概念例1给出卜列命题：①若
16、a
17、=0
18、,则a=b；②若4,B,C,Q是不共线的四点，则“AB=DCff是“四边形MCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c；@a=b的充要条件是a=bKa//b.其中正确命题的序号是.跟踪训练1下列命题中，止确
19、的是.（填序号）①有向线段就是向量，向量就是有向线段；①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;①向屋肋与向:gCD共线，则/、B、C、D四点共线;②如果a//b,方〃c,那么a//c；③两个向量不能比较人小，但它们的模能比较人小.题型二平血向量的线性运算例2（1）如图，正方形ABCD中，点E是QC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么亦等于（）A*B-g/DB.鲁朋+如DC.如B+舟D4D^AB—^AD⑵在△昇屮，AB=c,AC=b,若点£）满足应5=2氐，则乔等于（）B£c—知C.务-*cD.务+〒c跟踪训练2⑴如图，在正六边形ABCDEF^V，BA+C
20、D+EF^｝于（）A.0B.BEcJbD.CF（2）（2013-江苏）设D,E分别是△ABC的边BC上的点，AD=^AB,2—►BE=jBC.若庞=久]乔+几力b(/i],a2为实数），则久】+為的值为•题型三共线定理的应用例3设两个非零向量“与方不共线,⑴^AB=a+bfBC=2a+8b,色）=3（a_b）,求证：A.B、Q三点共线;（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.跟踪训练3如图，在AMC中，点Q是BC边上靠近B的三等分点，则25等于（E)C^AB+^AC⑵已知平而上不共线的四点O,AfB,C,若OA-4OB+3OC=0,则画等于（）A.3B.4C
21、・5D.6方程思想在平而向量的线性运算屮的应用典例：（12分）如图所示，&4MO屮，OC=^OA,OD=^OBfAD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试丿IJa和b表示向量页f温馨提醒（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.（2）易错点是，找不到问题的切入口，想不到利川待定系数法求解.（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是冇“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视/、M、D三点共线和3、M、C三点共线这个儿何特
22、征.（4）
