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《【青岛版】八年级数学下册专题讲练：巧用中点解决问题试题（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧用中点解决问题【重虐难虐易错点点点蒂通】一、中位线定理1.三角形中位线定义：连接三角形两边屮点的线段叫做三角形的屮位线。2.三角形中「位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。BC如图，在AABC中，D、E分别是AB、AC两边中点，求证DE平行且等于一匕。利用全2等和平行四边形进行证明。A强调理解:（1）要把三角形的屮位线与三角形的屮线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是「连接三角形两边中点的线段。（2）三角形有三条屮位线，首尾相接时，小三角形面积等于原三角形的以分这四个三角形都互相全等。二、直角三角形斜边中线如果一个三角形是直角三角形，那么这
2、个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图，在RtAABC中，ZA,CB=90°,D是AB的中点，求证CD=—。利用矩形性质2进行证•明。总结：（1）当图形屮有一个屮点的时候考虑倍长中线，当图形中有两个中点的时候考虑连接后用中位线；（2）计算屮经常使用直•角三角形斜边屮线等于斜边一半，特别要注意等腰直角三角形。【真卷难卷名校題題題经典】例题1如图，1是AABC的边BC的屮点，AN平分ZBAC,且丄AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则的周长是（）B.32C.18D.25A解析：MN是中位线,从而求岀CE的长。(AABN^AAEN),进而证明答案：延长线段備交AC于EoVAN平
3、分ZBAC,・・・ZBAN=ZEAN,AN=AN,ZANB=ZANE=90°,AABN^AAEN,.*.AB=AE=6,BN=EN,又TM是AABC的边BC的中点,・・・CE=2MN=2X1.5=3,•••△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,故选D。例题2如图，以边长为1的正方形的四边屮点为顶点作四边形，再以所得四边形四边屮点为顶点作四边形，…依次作下去，图屮所作的第三个四边形的周长为；所作的第n个四边形的周长为。解析：根据正方形的性质以及三角形中位线的定理，求出第二个，第三个四边形的周长，从而发现规律，即可求出第「个四边形的周长。答案：根据三角形中位线定理得，第二个四边
4、形的边长为（（$+（$周长为2近,第三个四边形的周长为4X（¥）2=2,第n个四边形的周长为4・（¥）"■,故答案为2,4•（—）2阔宙【拓展总结+提升藕分必读】利用中点判断三角形形状示例如图，在线段AE同侧作两个等边三角形CDE（ZACE<120°），点P、CEA.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形解析：首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°，则ZBCE=ZACD,从而根据SAS证明△BCE^AACD,得ZCBE=ZCAD,BE=AD；再由点P、点M分别是线段BE、AD的中点，得BP=AM,根据SAS证明△BCP^AACM,得FC
5、=MC,ZBCP=ZACM,则ZPCM=ZACB=60°,从而证明该三角形是等边三角形。答案：•「△ABC和ACDE都是等边三角形，・・・AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°。.•.ZBCE=ZACDOAABCE^AACDoAZCBE=ZCAD,BE=AD。又点P、点M分别是线段BE、AD的中点,ABP=AMoAABCP^AACMoAPC=MC,ZBCP=ZACMoAZPCM=ZACB=60°。•••△CPM是等边三角形。故选C。转化三角形构造中位线示例已知两个共顶点的等腰RtAABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME。(1)如图
6、1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB〃CF；(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;(2)如答图2所示，作辅助线，推出BM.ME是两条中位线；(3)如答图3所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=-DF,ME=-AG；22然后证明厶ACG^ADCF,得到AG=DF,从而证明BM=IE。答案：(1)证明：如答图1,延长AB交CF于点D,则易知AABC与ADBC均为等腰直角三角形,・・・AB=BC=BD,・・・点B为线段AD的中点，又・・•点M为线段AF的中点，・・.BM为ZXADF的中位线,・・・BM〃CF。(2)解：如答图2所示，延长AB交CF于点D,则易知A
7、DBC与AABC为等腰直角三角形，,.AB=BC=BD=a,AC=DC=屁点B为AD中点，又•:点M为AF中点,皿期因一分别延长FE与CA交于点G,则易知ACEF与ACEG均为等腰直角三角形，ACE=EF=GE=2a,CG=CF=2jIa,・••点E为FG中点，又•・•点M为AF中点,AME=-AGoVCG=CF=2V2a,CA=CD=V2a,/.AG=DF=^2a,21I~y[^2,2.BM=
