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1、本科毕业论文（20届）插值法及其应用19摘要插值法是数值分析、数值逼近和工程实际应用当中的一个重要工具.本文阐述了插值法与插值多项式的基本概念,并介绍了几种常用的插值方法,对其误差进行了估计,找出不同方法间的联系与区别,分析一些方法存在的优缺点,最后探讨了插值法在理论研究与实践工作中的应用.关键词:插值法;误差分析;数值积分;线性方程组;中值定理19AbstractInterpolationmethodisanimportanttoolfornumericalanalysis,numericalapproximat
2、ionandthepracticalapplication.Inthispaper,thebasicconceptofpolynomialinterpolationandinterpolationareexplained.Severalcommoninterpolationmethodsareintroducedandtheirerrorsareestimated.Theconnectionanddistinctionamongthedifferentmethodsareanalyzed,andtheadvanta
3、gesanddisadvantagesofsomemethodsarestudiedalso.Finally,theapplicationintheoreticalresearchandpracticalworkisdiscussed.Keywords:Interpolation;Erroranalysis;Numericalintegration;Linearequations;Valuetheorem19目录摘要IABSTRACTII1前言12插值问题33常用的插值法53.1Lagrange插值53.2Newt
4、on插值63.3Hermite插值93.4分段插值法124插值法的应用144.1在数值积分中的应用144.2在解线性方程组中的应用154.3用插值法构造辅助函数解决中值定理中的具体问题164.4Hermite插值在工程上的应用175小结19致谢21191前言实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的,虽然在某个区间上是存在的,有的还是连续的,但却只能给出上一系列点的函数值,这只是一张函数表.另外有些函数虽有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也仅是够造一个函数表
5、,如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等.为了研究函数的变化规律,往往需要求出不在表上的函数值.因此,我们希望根据给定的函数表构造出一个既能反映函数的特性,又便于计算的简单函数,用近似[1].插值法是解决上述关于函数的计算与近似代替的基本的并且有效的方法之一.插值技术早在数千多年前就已经广泛应用了,在16-19世纪,多项式插值被用来解决航海学和天文学中的一些重要问题[2].期间包括牛顿、高斯、欧拉和拉格朗日在内的许多数学家都对这个课题作出重要的贡献,并提出了一些插值公式.经典的插值方法以Lagrang
6、e插值为代表[3].Lagrange插值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式,进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论,其优点是插值多项式特别容易建立,缺点是增加节点时原有多项式不能利用,必须重新建立,即所有基函数都要重新计算,这就造成计算量的浪费[4];Newton插值多项式则很好地解决了上述问题,该插值法是代数插值的另一种表现形式,当增加节点时它具有所谓的“承袭性”;其后还有Hermite插值法及分段插值法[5].上世纪四十年代,Schoenberg还提出了样条函数,此
7、后对样条及其应用的研究出现了“突破”[6].1978年,DeBoor在出版的书中提出了多项式的实际应用,这为进一步开展的研究提供了很好的基础.但插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的,随后其应用也日益增多,特别是在电子计算机广泛使用以后,由于航空、造船、精密机械加工、服装、天气预报等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要,并得到进一步发展.现在插值法已经在不少领域中起着重要作用[7].在一些数学理论中,如:中值定理中的一些证明问题,等幂和一般公式,都采用了插值法.随着网络应用的繁荣,给数
8、据网络传输带来了方便,越来越多的重要信息在网络上传输,为了保证安全,对网上传输的敏感数据都需要加密.而运用插值技术可以研究出一种密钥共享方法,解决了这种密钥保护问题.19使用插值方法可以启发人们的思维,在数学中可以减少一些递推运算,在实际中可以使难题化简,所以研究插值法就显得十分必要了[8].本文首先介绍了插值法的基本问题,接着阐述了几类常用的插值法,找出不
