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1、2003年第1期7利用基本结论解立体几何竞赛题方廷刚(四川省成都市第七中学,610041)(本讲适合高中)结论5 棱锥的侧棱全相等当且仅当侧文[1]中提出了用基本结论解平面几何棱与底面所成角全相等,当且仅当锥顶在底竞赛题的想法.其实,这一想法用在解立体几面的射影为底面的外接圆圆心.何竞赛题时同样有效,特别是针对最近几年结论6 棱锥各侧面与底面所成二面角国内数学竞赛中立体几何部分以小题为主,全相等,当且仅当锥顶到底面各边的距离全只要求答案正确而不要求写出过程(尽管有相等,当且仅当锥顶在底面的射影为底面的时难度不小)
2、的特点,应用基本结论更可收避内切圆圆心或旁切圆圆心.免繁琐演算、简化思维过程、节约考试时间、结论7 若四面体有两组对棱(称不相邻提高答案准确率之功,值得一试.的两条棱为一组对棱)分别互相垂直,则其每一顶点在对面的射影都是该面垂心;反之,若1 立体几何中的一些基本结论四面体的一个顶点在对面的射影为该面垂很多人在解立体几何题中使用过基本结心,则其三组对棱分别互相垂直.论,这里仅列出下列15条.1.3 关于平行六面体构造的基本结论1.1 关于体积的基本结论结论8 过两条异面直线中的一条有且结论1 棱柱的侧面积等于侧棱长
3、与直只有一个平面平行于另一条.若三条直线两截面周长之积,体积等于侧棱长与直截面面两异面,且不平行于同一平面,则可以这三条积之积.直线为基础构造平行六面体(过每一直线作结论2 三棱柱的体积等于其一侧面积两平面分别平行于另两直线便可).与该侧面到其对棱的距离之积的一半.结论9 以任意四面体同一顶点处三棱结论3 有一组对棱互相垂直的三棱锥为棱可构造平行六面体.的体积等于该两棱长之积乘以该两棱间距离结论10以等腰四面体(对棱相等的四的六分之一.面体)同一顶点处三棱为面的对角线可构造结论4 若三棱台长方体(只须过每组对棱中
4、的一条各作一个上、下底面的面积分别为平面互相平行即可).S1和S2,高为h,则此三1.4 关于角和距离的基本结论棱台可分割为体积分别结论11 若两个相交平面内各有一条直hhh线互相平行,则这两平面的交线与这两直线为S1,S2和S1S2333图1平行.的三个三棱锥之和,如图结论12 两平面所成的二面角等于平行1中的三棱锥A-A1B1C1、B1-ABC和于其中一个平面且垂直于两平面交线的直线B1-ACC1.与另一平面所成的角或其补角.1.2 关于锥顶在底面的射影的基本结论结论13 长方体的对角线与同一顶点处 本文收
5、稿日期:2002206226的三棱所夹角的余弦的平方和为1,与同一顶8中等数学点处的三面所夹角的余弦的平方和为2.hS1S2,V3=S1,即V1∶V2∶V3=S2∶S1S2结论14 平面外两点到平面的距离之比3∶S1.再由棱台的两底面相似及A1B1∶AB=5∶等于过这两点的直线与平面的交点(假设交7,知S2∶S1=49∶25.从而,点存在)到这两点的距离之比.结论15 设圆台的上、下底面半径分别V1∶V2∶V3=S2∶S1S2∶S1=49∶35∶25.为r、R,母线长为l,则圆台侧面展开后所得例3 已知三棱锥2π
6、(R-r)S-ABC的底面是正三的扇环的圆心角为θ=.(注:将圆l角形,点A在侧面SBC锥视为圆台的极限情形,不再列出圆锥的相上的射影H是△SBC的应公式)垂心,二面角H-AB-2 用基本结论解立体几何竞赛题举例C的平面角等于30°,SA图4=23.那么,三棱锥例1 在四面体ABCD中,AD=DB=ACS-ABC的体积为.=CB=1,则它的体积的最大值是.(1999,全国高中数学联赛)(2000,上海市高中数学竞赛)分析:已知线段长似乎少了些.由基本结分析:如图2,设E、F论7知三组对棱分别互相垂直,从而S在面分
7、别为CD、AB的中点,则ABC内的射影O亦为△ABC的垂心.再由易知AB⊥CD,且EF为AB△ABC为正三角形知O为△ABC的外心.从和CD的公垂线.设AB=而,由基本结论5知SA=SB=SC.连BH并2x,CD=2y,由△ACD、图2延长交SC于E,连AE,则SC⊥面EAB.作EF△BCD和△EAB都是等腰⊥AB,连CF,知∠EFC为二面角H-AB-C22三角形易得EF=1-x-y(x>0,y>0,的平面角,即∠EFC=30°.故∠SCO=60°.据22x+y<1).故由基本结论3知此四面体体积93此解出OS和
8、OC,易算出所求体积为.1224为V=2x·2y·1-x-y.再用三元算术6例4 在△ABC中,∠C=90°,∠B=—几何平均不等式可得所求体积的最大值是30°,AC=2,M是AB的中点,将△ACM沿CM23.折起,使A、B两点间的距离为22.此时三27棱锥A-BCM的体积等于.例2 在正三棱台ABC-A1B1C1中,(1998,全国高中数学联赛)A1B1∶AB=5∶7,
