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《利用向量法解立体几何题型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、例1在棱长为1的正方体中，求1、平面的法向量2、求点到平面的距离。3、求直线与平面所成的角。4、求二面角的大小。例2（05江西理）如图4，在长方体中，AD==1，AB=2，点E在棱AB上移动。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面的距离；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。例3（05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系
2、（如图5），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，。由，得，即，同理，又，所以，EF平面PAB。Ⅱ）解：由，得，即。13得，，。有，，。设平面AEF的法向量为，由，解得。于是。设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。则。所以，AC与平面AEF所成角的大小为。例4如图6已知四棱锥的底面为直角梯形，AB//DC，，底面ABCD，且PA=AD=DC=，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所
3、成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。例1：如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.13例5：（04年高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余
4、弦值证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）∴=（，，-1），=（，0，-1），平面PED的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的法向量为=（x,y,1)由∴=（,0,1)∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（,0,1),设平面
5、FAB的法向量为1=（x,y,-1)，13由（1）知：F（0，0，），=（，，-），=（，0，-），由∴1=（-,0,-1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=
6、cos<,1>
7、=例6、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离例7、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面A1BC1//平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平
8、面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。.例8如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//
9、平面CDB1；13.例9（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥（4分）例10.（2007河北省唐山市三模）如图，在长方体中，点在线段上.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离.解法一：（Ⅰ）连结。由已知
10、，是正方形，有。∵平面，∴是在平面内的射影。根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。作，垂足为，连结，则所以为二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。设点到平面的距离为.∵即，∴，即，∴.故点到平面的距离为。解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.（Ⅰ）由，得设，又，则。13∵∴则异面直线与所成的角为。（Ⅱ）为面的法向量，设为面的法向量，则∴.①由，得，则，即∴②由①、②，可取又，所以点到平面的距离。.例11（
