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1、空间向量法解决立体几何问题数学专题二圣糟渗宗连胖金秋紧诲进腹锈肢裙挡溢监敦匈滤褪菊隔越剁黄湘艳曾最辈向量法解立体几何向量法解立体几何专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量琢素捧疏测呼搁臃忙方撑游肿蜒梭荣涝隆役劲扇速掉脓芜流虽匙玫塞帛膊向量法解立体几何向量法解立体几何一.引入两个重要的空间向量1.直线的方
2、向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB复降误时棒甜们胜袄贤眠布桶洼世闹网火侈窿益谎仅永幢溃漳姓丹秘担倪向量法解立体几何向量法解立体几何2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.αn警丛淀樟与如菊诸慌盼晕陕靛苔佛佯观当欣附龚诞夕纷尺肩芒误溺榔大顶向量法解立体几何向量法解立体几何在空间直角坐标系中,
3、如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα甄溺篱苞范猴鞠僻怒孜农镜夜圣皂嘎鸳福攀督陕坪西蘑仿饮赞酿澜赢贷泵向量法解立体几何向量法解立体几何求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z
4、为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.磅约辉弄粥冶浓龙洼艺址鹿坡煞疲粪汲贵椎蛙宴岸侠季吟刻澄离赁网曰砒向量法解立体几何向量法解立体几何例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy贸铱阎盅苑偷沟枚本寇慑丘咸亮碾淘抚巫摸眉拄岂纬频缎在遇肩娶拍第艾向量法解立体几何向量法解立体几何解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0
5、，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).挪鞍脉庭血淑峰池源丁营始微滞联堵由街放喂务想拐启扎明痢谷佩浪蘸清向量法解立体几何向量法解立体几何二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab战溢姥姥脉工捡泊哩判榷泽孵彼准枷亥养隧们披乱纬脆食膀桐翠魁葡名漠向量法解立体几何向量法解
6、立体几何例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD晴虾艾嫩钱洲闻础下想妓伟窄陪糊哉量铡里试四贺此筑艺态峰旬鬃襟庆沮向量法解立体几何向量法解立体几何证明：设a,b,c,依题意有
7、a
8、=
9、b
10、，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=
11、c
12、·
13、a
14、cosθ–
15、c
16、·
17、b
18、cosθ=0∴CC1⊥BD盖干芦屈硕戴繁蔽对雁浑俱藐绊秒拄斑俱挂喷皱聋洒猪起蹋辙既毖锗抽迈向量法解立体几何向量法解立体几何(2)直线与平面的位置关系
19、直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL憾匝辛狠蔼驼救持写狠躇章晋输球食河膛笆暗千梆蚤槽滥阳念芯辉否擞伯向量法解立体几何向量法解立体几何例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy劣活蹄拍袱并渊林婴即伴噬膛惩函纽棒琅路糟烟宋戊看蹿州柜催因纯颧触向量法解立体几何向量法解立体几何解：以D为原点，DA为x轴，
20、DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(II),而n=-2+0+2=0AB1∥平面DBC1摸
