数字电路与逻辑设计第二章逻辑代数基础

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1、逻辑代数基础第二章逻辑代数是数字系统设计的理论基础和重要数学工具！逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。1847年,英国数学家乔治·布尔提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数”。1938年，克劳德·向农将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故“开关代数”这个术语已很少使用。为了与“数字系统逻辑设计”这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数。本章知识要点：☆基本概念；☆基本定理和规则；☆逻辑函数的表示形式；☆

2、逻辑函数的化简。逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。2.1逻辑代数的基本概念公理1交换律对于任意逻辑变量A、B，有A+B=B+A；A·B=B·A公理2结合律对于任意的逻辑变量A、B、C，有(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)公理3分配律对于任意的逻辑变量A、B、C，有A+(B·C)=(A+B)·(A+C)；A·(B+C)=A·B+A·C公理40─1律对于任意逻辑变量A，有A+0=A；A·1=AA+1=1；A·0=

3、0公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公理5互补律对于任意逻辑变量A，存在唯一的　，使得2.1.1逻辑变量及基本逻辑运算逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是：1．在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而逻辑代数是一种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或取值1。2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。在数字系统中，开关的接通与断开，电压的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与截止等两种稳定的物理状态，均可用1和0这两种不同的逻辑值来表征。一．变量二．基本逻辑运算

4、描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。逻辑代数中定义了“或”、“与”、“非”三种基本运算。1．“或”运算如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。在上图所示电路中，开关A和B并联控制灯F。可以看出，当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮。因此，灯F与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。并联开关电路ABF用两个开关并联控制一个灯的电路如下图所示。逻辑代数中，“或”逻辑用“或

5、”运算描述。其运算符号为“+”，有时也用“∨”表示。两变量“或”运算的关系可表示为F=A+B或者F=A∨B读作“F等于A或B”。在下图所示电路中，假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0。F并联开关电路AB“或”运算表ABF000110110111“或”运算的运算法则：0+0=01+0=10+1=11+1=1实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。2．“与”运算如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之

6、为“与”逻辑。在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。其运算符号为“·”，有时也用“∧”表示。两变量“与”运算关系可表示为F=A·B或者F=A∧B即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。ABF串联开关电路假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F和开关A、B之间的关系即上表所示的“与”运算关系。“与”逻辑关系如下表所示。“与”运算表ABF000110110001“与”运算的运算法则:0·0=01·0=00·1=01·1=1实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。3．“非”运算如果某一事件的发生取决于条件的否定，即

7、事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算符号为“¯”，有时也用“￢”表示。“非”运算的逻辑关系可表示为F=或者F=￢A，读作“F等于A非”。即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。例如，在右上图所示电路中，开关与灯并联。显然，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。令开关断开用0表示，开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F与开关A的关系即为上表所示“非”运算关系。“非”运算的运算法则：；实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门，有时又称为“反相器”。A开关与灯并联