【测控设计】高二数学人教A版选修4-5同步练习：112基本不等式

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1、2•基本不等式A组1•下列结论中不正确的是（）A.a>0吋皿+一22B.~>2C./+42abD./+bQ()解析:选项A,C显然正确;选项D中，:7(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2cib>0,Z+A2>成立;而选项B中,—一22不成立，因为若〃<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B2.（2015湖南高考）若实数a,b满足—-厂，则ab的最小值为（）A.a/~B.2C.27厂D.4/_解析:由已知—-7，可知Q0同号，且均大于0.由厂一M2—，得ab>2-T9当且仅当—一,即b=2a时等号成立，故选C.答案:C3.函数尹=3卫+的最小值是（）A.3<

2、-3B.-3C.6、厂D.6厂3解析:y=3x2=3,+3+-3,：3x2+3>0,>0,・:尹22』・3=6丁・3,当且仅当3,+3=时』取得最小值6T-3.答案:D4•设x』WR,且x+y=5,则3v+3）'的最小值是（）A.10B.6、厂C.4厂D.18vr解析:3"+3】22丁•=27=2厂=1&厂，当且仅当兀=y=一时,等号成立.答案:D5.（2015福建高考）若直线—一=1（°>00>0）过点（1,1）,则a+h的最小值等于（）A.2B.3C.4D.5解析：：•直线—~=1过点（1,1）,・：=1.又a、b均大于0,.：d+b=(a+b)=1+1+$2

3、+27=2+2=4,当且仅当a=b=2时，等号成立，故选C.答案:C5.若a>3,贝9-+°的最小值为.解析:由基本不等式，得_+a=■+a・3+322」-")+3=2a/~+3=7,当且仅当-=a・3,即a=5(a=l舍去)时，等号成立.答案：76.若正数吐满足血=°+〃+3,贝ijab的取值范围是.解析泠~=/(/>0),由ab=d+b+3$2—+3,得”22/+3,.：/23或(舍去).・：厂>3.•：db$9,当a=b=3时，等号成立.答案:[9,+oo)8•求函数(兀20)的最小值.解:原式变形，得()()—y==x+2++1.因为x^O,所以x+2>0.所以

4、x+2+$6,所以yNT,当且仅当x=时，等号成立.所以函数丿=(x^O)的最小值为7.9已知a,b都是正实数，且a+h=.⑴求证24;(2)求一一的最小值.⑴证明：=2+~~22+2、'一」=4.⑵解：~>2xa+；2+b+佶2即当且仅当a=b时，等号成立.即$4,•：1+一$5.当且仅当a=b=时，等号成立.10•如图，为处理含有某种朵质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从/孔流入,经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a高度为hm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比，现有制箱材料60n?,问当a,b各为多少吋，沉淀后流出的水中

5、该杂质的质量分数最小?3,3孔的面积忽略不计)解:设尹为流出的水中该杂质的质量分数,则尹=—衣>0*为比例系数，依题意，即求a,b的值，使y最小.依题设，有4b+2ab+2a=6O(Q>O0>O),所以b=(05<30).①z十a于是尹=--UT乙Ts1■Za十zs1J)当a+2=时，等号成立』取最小值.这时a=6,a=・10(舍去)，将a=6代入①，得b=3.故当a为60为3时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.B组1.若a,b,c都是正数，且a(a+b+c)+be=4-2a/，贝lj2q+6+c的最小值为()a.QA.aT+1B.2/~+2C.2-T-2解析

6、：Sta(a+b+c)+bc=4-2yT,・：(a+b)(a+c)=4-2V~.:'a,b,c>0,・：(a+c)(Q+b)W,当且仅当a+c=a+b,即b=c时，等号成立.・・・2a+b+c22Q・/=2&~・)=2「2.答案:D2•若心>0,且兀+2尸3,则——的最小值是()A.2B.C.1+=1+亠，当且仅当时,等号成D.3+2T解析：立,——取得最小值1+答案:C3.函数尹=10&(“+3)-1(°>0/7工1)的图象恒过定点力，若点A在直线nix+ny-l-1=0上，其中〃加>0,贝9的最小值为.解析:函数v=loga(x+3)-l的图象恒过定点力(-2,

7、・1),:'点/在直线mx+ny+1=0上，Z-2w-/7+1=0,即2w+n=l,则—_x（2加+〃）==2+一+牛一+224+27=4+4=8,当且仅当m=,n=时，等号成立.答案：84•已知a>2,试判断loga(Q・l)・logXa+l)与1的大小关系.解：：方>2,・:log/—1)>0,log“(a+1)>0,且10&血-1)#0&仏+1),•：10g“(Q・l)10ga(Q+l)(・)()<(・)V=1,・：当a>2时,loga(a・l)loga(a+l)vl./_5•若a>0,b>0,且——7.⑴求/+丽的最小值；(2)是