【测控设计】高二数学人教A版选修4-5同步练习：41数学归纳法

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1、04第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法A组1.用数学归纳法证明宀】+严1（圧2）能被兀+y整除假设成立，则当n=k+吋,被整除式应为（）C.严答案:CB.严+严2D.F+严2.数列｛g“｝的前n项和（心2）,而ai=l,猜想a“等于（A.()B.()c.■答案:BD.(・)3.设和)=1+—+・・・+・SWN+）,则知+1）呎防等于（）A.B.C.D.解析:因为yo）二1++•••+-,所以/（斤+1）=1++•••+・所以血+1）讥对二—答案:D4.用数学归纳法证明:1+°+/+・•十严=・（曲1）,在验证时

2、，左边计算所得的项为（）A.1B.l+dC.l+a+aD.l+a+/+a'解析:令〃=1,则等式左边二1+。+/.答案:C•1,先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列5.在数列｛a“｝中,ai=V~・1,前〃项和S„=V的通项公式是()A.a”=・1B.tzz,=/?y-1C.cin=Q~厂D.a”二解析:由题意，可知S2=ai+d2=J--1,•:C12厂J■、厂+丄='T厂；S3二⑷+他+如二/-1,・：a3=S3-S2=、厂厂，同理，可得a4=S4-Si=yTJ",故可猜想an=a/yT.6.

3、用数学归纳法证明边增加了的项为（）答案:D+••・+>7S）S>1m€N+）的过程中，当n=k+时的左边比的左A.A.-B.D.解析:用数学归纳法证明的左边增加了的项为+•••+>/(«)(/!>1,/?^N+)的过程中，当n=k+l时的左边比+・・・+答案:D7.用数学归纳法证明当n为正奇数时卅吋能被兀+〉，整除圧N+,第二步是()A.设当n=2k+时成立，再推n=2k+3成立B.设当n-2k-吋成立，再推n=2k+l成立C.设当时成立，再推n-k+2成立D.设nWR伙$1)成立，再推n=k+2成立解析:根据证

4、明的结论M为正奇数，则第二步的假设应写成:假设当“2hl*WN+时命题成立，即当〃=2h1*丘N+时，从k到R+1时需添加的项是2弘+2‘"十'+25*+2+25知3+25知49.求证1x4+2x7+3x10+••-+n(3n+1)=/?(/?+1)2.证明:(1)当n=l时，等式左边=1x4=4,右边=4,等式显然成立.(2)假设当/?=时，等式成立，即1x4+2x7+3x1()+•••+£(3知1)=£(£+1)2.x4+2x7+3x10+・・・+£(3知1)+伙+1)(3£+4)伙+1尸+伙+l)(3R+4)二伙

5、+l)(Q+R+3k+4)二伙+1)伙+2尸二伙+1)[伙+1)+1]2.即当n=M时，等式成立.+〉,*1能被x+)；整除，再推斤=2k+1也成立.答案:B答案:1+2+22+23+248.用数学归纳法证明“1+2+22+23+・・・+2曲5丘“+)是31的倍数”时，当n=时，原式1.函数/lU)=J2(X)=(),・・也+1(兀)二()，…,则函数恵016(力是()A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:当X0时/i(x)=

6、・乙+心)=()<(),•••,同理，当兀>0时,函数值均大于0,故&(兀)不可能是偶函数.•7iW=是奇函数，KK假设加(兀)伙$1,且圧N+)是奇函数，则屁心)=・~~()二力+心)，・勿+

7、(兀)是奇函数，从而办(x)是奇函数.综上£oi6(x)是奇函数但不是偶函数.口案:A1.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…，则第60个数对是•解析:设每个数对内的两数之和为広则组成数对的个数为

8、a尸匕1*=2,3,…,则由不等式(_)(_)(_)Sk=<60,得W>l)vl20,则£的最大整数值为11,X5n==55,则第56个数对之和为12,即(1,11),后面的依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第60个数对为(5,7).答案：(5,7)1.如图，第n个图形是由正S+2)边形“扩展”而来(/i=l,2,3,-)，则第(介2)个图形中共有个顶占八、、•⑷(5)解析:设禺为第n个图形的顶点数，则由题图可知:第1个图形有6个顶点妙=6;第2个图形有12个顶点g=12;第3个图形有20个顶

9、点,偽=20;第4个图形有30个顶点皿4=30;第5个图形有42个顶点歼42;则d“=(n+l)(n+2),2•:a小2=(〃讥答案:/・〃2.用数学归纳法证明厂】+("1严】能被j+a+i整除(圧N+).证明:⑴当n=时,cT+(a+Y)=a2+a+能被a2+a+整除.(2)假设伙GN+)时d+】+(a+l严"能被/+a+