神奇的Gamma函数(下)

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1、神奇的Gamma函数(下)rickjin关键词：特殊函数，概率分布从二项分布到Gamma分布Gamma函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布Q分布，/2分布，F分布)、Beta分布、Dirichlet分布的密度公式中都有Gamma函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由Gamma函数变换得到的Gamma分布。对Gamma函数的定义做一个变形，就可以得到如下式了JccOxa-1e-xT(a)(Jx=1于是，取积分屮的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma分布的密度函数Gamma(xoL)=xa-

2、1e-xV(a)如果做一个变换x=/3tf就得到Gamma分布的更一般的形式氏屮a称为shapeparameter,主要决定了分布曲线的形状；而0称为rateparameter或者inversescaleparameter(1“称为scaleparameter),主要决定曲线有多陡。Gamma(tu.J])分布图像Gamma分彳j在概率统计领域也是一个力•人迷，众多统计分布和它有密切关系。指数分布和/2分布都是特殊的Gamma分布。另外Gamma分彳

3、j作为先验分彳

4、j是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作英它分和的先验。如果把统计分布

5、中的共辘关系类比为人类生活中的情侶关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是Gamma分布的情人。接下来的内容中中我们主要关注0=1的简单形式的Gamma分布。Gamma分布首先和Poisson分布、Poisson过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma分布的概率密度和Poisson分布在数学形式上具有高度的一致性。参数为久的Poisson分布，概率写为Poisson(X=kA)=Ake-xk在Gamma分布的密度中取a=k^~1得到Gamma(xa=k+1)=xAe-vr(k+1)=xke-xkl所以

6、这两个分布数学形式上是一致的，只是Poisson分布是离散的，Gamma分布是连续的，可以直观的认为Gamma分布是Poisson分布在正实数集上的连续化版本。这种数学上的一致性是偶然的吗？这个问题我个人曾经思考了很久，终于想明白了从二项分布出发能把Gamma分布和Poisson分布紧密联系起来。我们在概率统计中都学Poisson^分布可以看成是二项分布在np="s条件F的极限分布。如果你对二项分布关注的足够多，可能会知道二项分布的随机变量XB5,p)满足如下一个很奇妙的恒等式P(X

7、应的是二项分布和Beta分布之间的关系，证明并不难，它可以用一个物理模型直观的做概率解释，而不需要使用复杂的数学分析的方法做证明。由于这个解释和Beta分布有紧密的联系，所以这个直观的概率解释我们放到卜-一个章节，讲解Beta/Dirichlet分布的时候进彳亍。此处我们暂时先承认(*)这个等式成立。我们在等式右侧做一个变换戶“，得到P(X

8、=np(n~1k)(xn)n-k-(1-xn)kdx=npBinomial(Y=k—,xn)dx上式左侧是二项分布B(n,p),而右侧为无穷多个二项分布的积分和,所以可以写为Binonual(Xoo卜•取极限，则左边有B(n,p)fPoisson(心,而右边有B(n~1,xn)^Poisson(x)}所以得到Poisson(X

9、sson(XJ^oisson(Y=kx)dx=^/jcke-xkdx所以对于们得到如下一个重要而有趣的等式Poisson{XMe-xkdx()接下來我们继续玩点好玩的，对上边的等式两边在2—0下取极限，左侧Poisson分布是要至少发生k个爭件的概率，久—0的时候就不可能有爭件发生了，所以P(XoJooZUe-M!dx=^xke-xkdx在这个积分式了说明J{x)=Xke-Xk^.正实数集上是一个概率分布函数，而这个函数恰好就是Gamma分布。我们继续把

10、上式右边中的k移到左边，于是得到k=^xke-xdx于是我们得到了k表示为积分的方法。看，我们从二项分布的一个等式出发，同时利用二项分布的极限是Possio