神奇的Gamma函数(上)

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1、神奇的Gamma函数（上）rickjin关键词：特殊函数，欧拉Gamma函数诞生记学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数r（x）=fxOZ.r-ie-tdt通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质r（x+i）=xr（x）于是很容易证明，r（x）函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质r（77）=（w-i）!学习了Gamma函数之后，多年以来我一直有两个疑问：•1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；•2.为何定义r函数的时候，不使得这个函数的定义满足V（n）=n而是r（/?）=（«-l）!最近翻了一些资料，发

2、现有不少文献资料介绍Gamma函数发现的历史，耍说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,可以用通项公式H2自然的表达，即便H为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线，=X2通过所有的整数点(77,772),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一犬哥徳巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些仍川)的点画在坐标轴

3、上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。TheFactorialsn:12345678•••«!:12624120720504040,320•••但是哥徳巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔•贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729年完美的解决了这个问题，由此导致了「函数的诞生，当时欧拉只有22岁。爭实上首先解决川的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，如果旳斤都是正整数，如果加TOO,有123/77(1+/7)(2+/7)(1+/7)(m+/72)H-1—>/7!

4、于是用这个无穷乘积的方式可以把〃!的定义延拓到实数集合。例如，取〃=2.5,m足够大，基于上式就可以近似计算出2.5!。欧拉也偶然的发现n可以用如卜•的一个无穷乘积表达[(21>1A7+1][(32>2/?+2][(43>3z?+3]=/?!()用极限形式，这个式了整理后可以写为lirrb»->ocl23〃7(1+刃)(2+刃)(m+/7)(m+l)7?=n!()左边可以整理为==123加(1+/?)(2+乃)(m+/?)(m+l)wl23刃(刃+1)(刃+2)加(1+/?)(2+巾)m(〃汁1)〃(力+1)(加+2)(加+/?)/7!(m+1)”伽+1)(力+2)(m

5、+n)n!口甘1nm+1m+km!(m^oo)所以(*)、(**)式都成立。欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当77=1/2的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到(12)!=243346556877810997然而右边正好和著名的Wallis公式关联。Wallis在1665年使用插值方法计算半圆曲线y=x(l~x)V下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于兀的如下结果，24334655687781099=兀4于是，欧拉利用Wallis公式得到了如下一个很漂亮的结果(12)!=兀“2大数学家欧拉欧拉和

6、高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥界。高斯是个老狐狸，数养上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；血欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。拉普拉斯曾说过：”读读欧拉，他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。欧拉看到(12)!中居然有7T,对数学家而言，有7T的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测n一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把n表达为积分形式。虽

7、然Wallis的时代微积分还没有发明出来，呛llis是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis公式的推导过程基本上就是在处理积分Jioxi2(l-x)12t&,受Wallis的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分J(e,n)=1OXe(1-x)ndx此处n为正整数，e为正实数。利用分部积分方法，容易得到J(e,n)=ne+L/(e+1.n~)垂复使用上述迭代公式，最终可以得到J(e,/7)=12w(e+l)(e+2)(e+n+l)于是欧拉得到如下一个垂要的式了n!=(e+1)(e+2)(幺+/?+1)fioxe(1-