神奇的gamma函数(中)

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1、神奇的Gamma函数(中)rickjin关键词：特殊函数，高斯Gamma函数欣赏Eachgenerationhasfoundsomethingofinteresttosayaboutthegammafunction.Perhapsthenextgenerationwillalso.—PhilipJ.DavisGamma函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让徳、威尔斯特拉斯、柳维尔等等。这个函数在现代数学分析屮被深入研究，在概率论屮也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma函数

2、作为阶乘的推广，首先它也有和Stirling公式类似的一个结论f(x)2-一^le-xXx-12另外，Gamma函数不仅可以定义在实数集上，还可以延拓到整个复平面上。复平面上的Gamma函数fristderivativesecondderivativethirdderivativenxn1,n(n-)xn-2y幷(n_l(n_2)x”_3,k~thderivative朮/7-1(刃一2)(Z7-Z:+1)xwk=nl(n~ky.xn-k9由于k阶导数可以用阶乘表达，于是我们用Gamma函数表达为r（7

3、7+1）「（乃一丘+1）Xn~k于是基于上式，我们可以把导数的阶从整数延拓到实数集。例如，取/7=1>12我们可以计算X的12阶导数为r（1+1）r（1-1/2+1>1-1/i=2x^7t-<很容易想到对于一般的函数./（x）通过Taylor级数展开可以表达为幕级数，于是借用刘的分数阶导数，我们可以尝试定义出任意函数的分数阶导数。不过有点遗憾的是这种定义方法并非良定义的，不是对所有函数都适用，但是这个思想却是被数学家广泛采纳了，并由此发展了数学分析中的一个研究课题：FractionalCalculus,

4、在这种微积分屮，分数阶的导数和积分都具有良定义，而这都依赖于Gamma函数。Gamma函数和欧拉常数卩有密切关系，可以发现y=~dV（Xk/¥

5、x=l=limn->oc（1+12+13++1n-logn）进一步还可以发现Gamma函数和黎曼函数Js）有密切联系，的=]+12卄12卄而C函数涉及了数学中苦名的黎曼猜想和素数的分布定理。希尔伯特曾说，如杲他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？iogr（x）从Gamma函数的图像我们可以看到它是一个凸函数，不仅如此，log「(

6、x)也是一个凸函数，数学上可以证明如下定理：[Bohr-Mullerup定理]如果/(0,oo)—>(0,oo),K满足1.如鬥2..1)=xf(x)3.log/(x)是凸函数那么丿(X)可(X),也就是「⑴是唯一满足以上条件的函数。如下函数被称为Diganima函数，屮⑴=6/log「⑴c/r这也是一个很重要的函数，在涉及求Dirichlet分布相关的参数的极大似然估计时，往往需要使用到这个函数。Digamma函数具有如下一个漂亮的性质屮(兀+1)=屮⑴+lx函数屮(兀)和欧拉常数7以及：函数都有密切

7、关系，令屮”(x)=Ra?+1log厂(x)cA>?+1则屮0(对=屮(兀)，可以证明W⑴=-泸(2)=1r屮1(1)=彳2)=也6,屮2(1)=—203)所以Gammei函数在数学上是很有魅力的，它在数学上应用广泛，不仅能够被一个理科本科生很好的理解，本身又足够的深刻，具有很多漂亮的数学性质，历史上吸引了众多一流的数学家对它进行研究。美国数学家PhilipJ.Davis写了篇很有名的介绍Gamma函数的文章：“LeonhardEulerJsIntegral:AHistoricalProfileofth

8、eGammaFunction",文屮对Gamma函数一些特性发现的历史进行了很详细的描述，这篇文章获得了ChauvenetPrize(美国数学会颁发的数学科普最高奖)。