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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：315+空间向量的数量积1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、空间向量的数量积［学习目标］1•掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和汁算方法及运算规律.2.常握两个向量的数量积的主要用途，会月它解决立体几何中一些简单的问题.自主学习知识点一空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,贝ijZAOB叫做向量a,力的夹角记法〈a,b)范围IT〈a,b>e[0,tt].当〈a,b)=空时，a丄〃知识点二空间向显的数显积⑴定义已知两个非零向量a,b,则
2、«
3、
4、Z>
5、cos〈a,b)叫做a,〃的数量积，记作a/.(2)数量积的运算律数乘向量与
6、向量数量积的结合律(Aa)b=X(a-b)交换律a・b=b・a分配律a(方+c)=a•方+a・c⑶数量积的性质两个向量数量积的性质①若a,0是非零向量,则a丄b^a-b=O②若a与〃同向，则a-b=a-b；若反向,贝0a-b=-a-b.特别地，a-a=
7、a
8、2或
9、a
10、=7石③若&为a,0的夹角,则cos&—爲④
11、a・〃
12、W
13、d
14、・0
15、冃题型探究重点突破题型一空间向量的数量积运算例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是/B,/D的中点，计算：⑴乔菇；(2)EFBD；(3)£FDC；(4)
16、BFCE.解()EFBA=^BDBA=*
17、商丽cos〈丽，BA}=
18、xiXlXcos60。=£~A~>1所以EFBA=-^.(2)EF-BD=^BD-BD-cos应，BD)=*X1X1Xcos0。=*~A―A1所以EFBDp.1>1>
19、1'>►11>►，A►](3)EFDC=2BDDC=^BD\DCcos〈BD、DC)=^X1X1Xcos120。=一所以赤疋==*丽•(-盹+厉•(-砌+场&+厉•劭+
20、-
21、+
22、)=-B反思与感悟由向量数量积的定义知，要求a与方的数量积，需已知
23、a
24、,
25、刿和〈a,方〉，a与〃的夹角与方向有关
26、，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使d•方计算准确.跟踪训练1已知空间向量伉,b,c满足a+b+c=0,
27、a
28、=3,0
29、=1,
30、c
31、=4,则a-b+bc+ca的值为.答案T3解析・・・a+b+c=0,・・・(a+b+c)2=0,a2+b2+c2+2(ab+bc+c・a)=0,32+12+42_.*.ab+bc+ca=—=—13.题型二利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC中，0/=8,4B=6,AC=4tBC=5,Z0AC=45°,ZOAB=60°,求CM与BC所成角的余弦值.解因为岚=花一觞,24_16迈8X53_2迈5=
32、乔+AAiCl所以鬲•荒=血•花一㈢觞=OA\ACcos〈弘AC)一
33、鬲
34、
35、両cos<04,AB)=8X4Xcos135°-8X6Xcos120。=一16迈+24.所以cos〈㈢，BC>=(2±BC_OA\BC即OA与BC所成角的余弦值为返.反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：（1）根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；（2）将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；（3）利用向量的数量积求角的大小；（4）证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于°,点M,
36、N分别是力3,CQ的中点，求证：MNL4B,MN±CD.—►―►—►—►―►—►―►―►1―►—►证明MNAB=（MB+BC+CN）AB={MB+BC+^D）AB~~►1-►1―►—►=（MB+BC+^AD-^AC）AB=2^2+«2cos120。+如Los60°—Ta2cos60。=0,所以济丄乔，即MN丄力2同理可证MN丄CD题型三利用数量积求距离例3正三棱柱ABCA}B}C}的各棱长都为2,E、F分别是M、禺。的屮点，求EF的长.解如图所示，设AB=a,AC=b,AA=c.由题意知a=b=c=2,且〈a,b)=60°,
37、〈a,c〉=〈b,c〉=90°.因为厉=易+AA}+A^FX2X2cos60°所以EF2=I丽2=弟=妒+如2+c2+2(_如如+如c_如・c)=
38、x22+
39、x22+22+2X=1+1+4_1=5,所以ef=G反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式a=y[a^a求解即可.跟踪训练3如图，已知一个60。的二面角的棱上有两点力，B,AC,分别是在这两个面内且垂直于的线段.又知4B
40、=4,AC=6fBD=8,求CD的长.解・.・G4丄ZB,BD丄AB,.I(G4fBD)=120°.*：cb=CA+AB+Bbf且&乔=0,BDAB=01^=^^=(CA+AB+BD)(CA
