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时间:2019-08-22
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1、函数及其表示基础知识梳理1.函数的基本概念(1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)
2、x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的定义域
3、和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.2.函数的三种表示方法表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法.3.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.另:求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b即可求出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定
4、义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域.4.函数的单调性(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。(2)单调区间的定义:若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.注:函数的单调性是对
5、某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数y=分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接.函数单调性的判断9(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.在公共的单调区间内有:增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,减函数+减函数=减函数,减函数-增函数=减函数。(3)图象法:利用图
6、象研究函数的单调性. 函数的奇偶性与周期性基础知识梳理1.奇、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.注:奇、偶函数的定义域关于原点对称.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。(3)若奇函数f(x)在x=0处有
7、定义,则f(0)=0,偶函数恒有.判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.注:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-,那么函数f(x)是周期函数,其中一个周
8、期为T=2a;练习检测1.(2011·江西)若f(x)=,则f(x)的定义域为( ).A.B.C.D.(0,+∞)解析 由log(2x+1)>0,即0<2x+1<1,9解得-<x<0.答案 A2.下列各对函数中,表示同一函数的是( ).A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgxB.f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)C.f(u)=,g(v)=D.f(x)=()2,g(x)=答案 C3.函数y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只与
9、x的一个值对应的y值的范围是________.解析 任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)图象没有交点;当a在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点.任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,则b在函数y=f(x)的值域内;当直线y=b与函数y=f(x)的图象没有交点,则b
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