活用解题理论打造高效课堂_基于_怎样解题表_理论指导下的一节习题课

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1、数坛在线教育纵横2014年4月活用解题理论打造高效课堂——基于“怎样解题表”理论指导下的一节习题课筅湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区李红春筅湖北省武汉市黄陂区第一中学翁华木著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着解老师：你们说出的这些方法都有各自的特点，我们题”，并在他风靡世界的《怎样解题》一书里，详细地列出的解题思维就是需要根据函数表达式的特征灵活地选择了一张“怎样解题表”，恰是一部“启发法小词典”，从思其中的解题方法.维的角度向我们展示了数学解题活动的四个步骤：第2.拟定计划与实现计划一，你必须弄

2、清问题；第二，找出已知数与未知数之间的遵照波利亚的解题理论，解答一个问题，关键是理联系；第三，实行你的计划；第四，验算所得到的解.波利顺我们的解题思维，即首先理解题目的条件，然后分析亚的解题理论为我们指导学生解题提供了程序化的思数式的结构特点或几何图形的形状特征，结合自己的解维方向，对当前构建高效课堂的解题教学有着很现实的题经验，拟定解题的思维方向.指导意义.前不久，在我区骨干教师展示课上，笔者以我们的解题思维开始了从拟定解题计划到实现解“怎样解题表”为指导，上了一节示范课，收到了很好的题计划的历程.教学

3、效果，下面把教学过程摘录如下，并附上笔者的反拟定计划1.思，希望能对大家的解题教学有所启示.老师：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而题目（2011年全国高中数学联赛填空题第2题）函数形式稍有不同？%2姨x+1y=的值域是________.学生1：我们以前做过求函数的值域问题，但本题的x-1函数表达式与我们做过的函数形式有一定差异，特别是一、展示教学过程分子是根式，如果把分母拿进根号可消除解题障碍.对于分式型函数，我们常把分母看成一个整体，用分离常展现思维过程是波利亚的“怎样解题表”的重要形数法进行化简

4、，将问题转化为常见的二次函数、双钩函式，在本节课堂教学中，笔者努力遵循“解题表”的基本数等来解决.思维格式，与学生一起展开对问题的探究.实现计划1.1.弄清问题与回顾知识%2姨t+2t+2实践波利亚的解题表，第一步必须弄清我们现在面学生1：令x-1=t（t≠0），则x=1+t，g（t）=.t临的问题，并由此引导学生展开锁定目标的思维讨论.%22教师指导学生迅速读懂题目给出的信息，并针对相关知当t＞0时，g（t）=++1>1；2姨tt识展开思维联想，是实现课堂高效的有力措施.%22%111老师：这是一个什么

5、问题？当t＜0时，g（t）=-++1=-2≠+≠2+姨t2t姨t22学生（众）：这是一个代数问题，是一个求函数值域%问题.姨2≤-.2老师：题目中的条件是什么？%学生（众）：题目的条件有两个：①给出了函数的解析姨2所以函数的值域为2-∞，-2∪（1，+∞）.式；②自变量的取值范围是x≠1.2老师：我们要做什么？拟定计划2.学生（众）：求函数的值域，即是求y的取值范围.老师：函数的表达式中带有根号，且根号里面的式老师：回想一下，我们求函数的值域有哪些基本方2子为x+1，你由此能联想到与之相似的式子吗？法？学

6、生2：联想到三角中的平方关系，不妨通过三角换学生（众）：配方法、分离常数法、判别式法、导数法、元可去掉根号，将问题转化为三角函数来解决，问题可构造法、不等式法等.能会变得简单.44高中版数坛2014年4月教育纵横在线%实现计划2.于是，y可以看成点P（x，x2+1姨）与点（1，0）连线的πππ22学生2：设x=tanθ≠-＜θ＜，且θ≠≠，斜率.而点P在双曲线y-x=1的上半支上，则问题转化为224求过点（1，0）且与双曲线的上半支有交点的直线的斜率1的取值范围.cosθ11则g（θ）===.当y＞0时，

7、由图2可以直观看出斜率的取值范围为tanθ-1sinθ-cosθ%π姨2sin2θ-2（1，+∞）.4y%π%8设u=姨2sin2θ-2，则-姨2≤u＜1且u≠0.4P6%4姨22P故函数的值域为2-∞，-π∪（1，+∞）.O2-10-5Q510x2拟定计划3.4老师：求解函数的值域还有其他的方法吗？可否先6研究函数的性质呢？图2学生3：借助导数，先判断出函数的单调性，再利用22224222又（y-1）x-2yx+（y-1）=0，由Δ=4y-4（y-1）=8y-单调性求解，是通法，值得尝试.%姨2实现计划

8、3.4=0，解得y=-（正值舍去），显然，斜率的取值范围为2学生3：对（fx）求导，得：%1%姨2·2x（x-1）-姨x2+12-∞，-π.2%x2+1（x2-x）-（x2+1）2姨f（′x）==%（x-1）2（x-1）2%x2+1姨2姨故函数的值域为2-∞，-π∪（1，+∞）.2-x-1=.%x-1

9、x-1

10、22学生5：设g（x）=，则

11、g（x）

12、=.（x-1）姨x+1%%2如图1，当x＜-1时，函数（fx）为增函数；姨x+