第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

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1、第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．cos＝(　　)A.B.C．－D．－解析cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选C.答案C2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝(　　)．A．－B.C．－D.解析　由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝＝＝.答案　D3．若＝，则tan2α＝(　　)．A．－B.C．－D.解析　由＝，得＝，所以tanα＝－3，所以tan2α＝＝.答案　B4．已知f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为(　　

2、)．A．0B．1C．－1D.解析　∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos180°＝－1.答案　C5．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)．A．1＋B．1－C．1±D．－1－解析　由题意知：sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴＝1＋，解得：m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.答案　B6．若Sn＝sin＋sin＋…＋sin(n∈N*)，则在S1，S2，…，

3、S100中，正数的个数是(　　)．A．16B．72C．86D．100解析　由sin＝－sin，sin＝－sin，…，sin＝－sin，sin＝sin＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案　C二、填空题7．已知cosα＝－，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝＝，

4、tanα＝＝－，则tan(2π－α)＝－tanα＝.答案8．已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.解析原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα＝0.答案09．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．解析　依题意得sinα－cosα＝，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋2＝2，故(sinα＋cosα)2＝；又α∈，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－(sinα＋cosα)＝－.答案　－10．f(x)＝a

5、sin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β均为非零实数)，若f(2012)＝6，则f(2013)＝________.解析　f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝6，∴asinα＋bcosβ＝2，∴f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝2.答案　2三、解答题11．已知＝3＋2，求cos2(π－α)＋sin·cos＋2sin2(α－π)的值．解析由已知得＝3＋2，∴tanα

6、＝＝＝.∴cos2(π－α)＋sincos＋2sin2(α－π)＝cos2α＋(－cosα)(－sinα)＋2sin2α＝cos2α＋sinαcosα＋2sin2α＝＝＝＝.12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.解　法一　由sin(3π＋α)＝2sin，得tanα＝2.(1)原式＝＝＝－.(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝＝＝.法二　由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.13．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－

7、α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解　假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈，∴α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件．14．已知函数f(x)＝tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈，若f＝2cos2

8、α，求α的大小．解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝，即si