导数及其应用 (2)

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1、导数及其应用知识网络高考导航导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时变化率与导数、导数的计算基础过关1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的，即＝＝．2．导函数：函数y＝在区间(a,b)内的导数都存在，就说在区间(a,b)内，其导数也是(a,b)内的函数，叫做的，记作或，函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的.4．求导数的方法(1)八个基本求导公式＝

2、；＝；(n∈Q)＝，＝＝，＝＝，＝(2)导数的四则运算＝＝＝，＝(3)复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导，且＝，即.典型例题例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.变式训练1.求y=在x=x0处的导数.例2.求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）变式训练2：求y=tanx的导数.例3.已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.例4.设函数(a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解

3、析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.小结归纳1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时导数的概念及性质基础过关1．函数的单调性⑴函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为；若＜0，则为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有

4、，则.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的；②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各小开区间内的，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程＝0的；③检验在方程

5、＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值：⑴设y＝是定义在区间[a,b]上的函数，y＝在(a,b)内有导数，则函数y＝在[a,b]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：①求y＝在(a,b)内的值；②将y＝的各值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝在[a,b]上单调递增，则为函数的，为函数的；若函数y＝在[a,b]上单调递减，则为函数的，为函数的.典型例题例

6、1.已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.例2.已知函数f(x)=x3+a

7、x2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.变式训练2.函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.例3.已知函数f(x)=x2e-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.变式训练3.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.例4.某分公司经销某种品牌产品，每

8、件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管