导数及其应用 (2).doc

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1、导数及其应用1.了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念．2.熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等．1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在R上存在极值，则实数a的取值范围是_

2、_______．2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．3.直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.4.若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.【例1】　已知曲线f(x)＝x3－3x.(1)求曲线在点P(1，－2)处的切线方程；(2)求过点Q(2，－6)的曲线y＝f(x)的切线方程．【

3、例2】　已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【例3】　(2009·山东)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所

4、选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由．【例4】　(2011·苏北四市三模)已知函数f(x)＝ax2＋lnx，f1(x)＝x2＋x＋lnx，f2(x)＝x2＋2ax，a∈R.(1)求证：函数f(x)在点(e，f(e))处的切线恒过定点，并求出定点

5、坐标；(2)若f(x)＜f2(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)当a＝时，求证：在区间(1，＋∞)上，满足f1(x)＜g(x)＜f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个．1.(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为________．2.(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.3.(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线

6、的倾斜角，则α的取值范围是________．4.(2011·福建)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．5.(2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；(2)当06.(2010·辽宁)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a<－1.如果对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

7、f(x1)－f(x2)

8、≥4

9、x1－x2

10、

11、，求a的取值范围．(2011·南京三模)(本题满分16分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)(1)当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；(2)求函数g(x)＝－alnx(x>1)的单调递增区间；(3)如果存在a∈[3,9]，使函数h(x)＝f(x)＋f′(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值，试求b的最大值．解：(1)设切点为T(x0，x03＋x02)，由f′(x)＝3x2＋2x及题意得3x02＋2x0＝1(2分)解得x0＝－1或x0＝，

12、所以T(－1,0)或T，所以切线方程为x－y＋1＝0或27x－27y－5＝0，(4分)(2)因为g(x)＝x2＋x－a－alnx(x>1)，所以由g′(x)＝2x＋1－>0得2x2＋x－a>0(6分)令φ(x)＝2x2＋x－a(x>1)，因为φ(x)在(1，＋∞)递增，所以φ(x)>φ(1)＝3－a.当3－a≥0，即a≤3时，g(x)的增区间为(1，＋∞)；(8分)当3－a<0即a>3时，因为φ(1)＝3－a<0，所以φ(x)的一个零点