导数及其应用总复习3

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1、导数的应用一、基础知识1.函数的单调性与其导函数的正负关系：在开区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内，如果，那么函数在这个区间内，反之？求可导函数y=f(x)的单调区间的步骤：（1）求定义域（2）求f¢(x)(3)解不等式f¢(x)>0(或f¢(x)<0)(4)确认并写出单调区间2.导数与极值:设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有，则称f(x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有，则称f(x0)是f(x)的一个极小值。可导函数点x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的条

2、件求函数y=f(x)极值的步骤：（1）确定函数的定义域(2)求方程f¢(x)=0（3）解不等式f¢(x)>0(或f¢(x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间(4)判断f¢(x)=0的根的两侧f¢(x)的符号，确定是否为极大值、极小值。3.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有和求在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1）（2）二、典型例题（一）函数的单调性与导数例已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（）答案：C1.求单调区间——判断导数符号注意定义域

3、的先决条件（1）设函数。当a=1时，求的单调区间。解：函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a，当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；（2）已知函数.讨论函数的单调性15游手好闲的学习并不比学习游手好闲好。——约·贝勒斯显然函数定义域:x∈(0,+∞)求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x1.a=0f'(x)=1/x>0故f(x)在全域单增2.a>0f'(x)>0故f(x)在全域单增3.-1

4、下(-(a+1)/2a)列表x(0,根号下(-(a+1)/2a)根号下(-(a+1)/2a)(根号下(-(a+1)/2a),+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减4.a≤-1f'(x)≤0故f(x)在全域单减综上a≥0时，f(x)域上单增-1

5、的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性．答案：（1）b=1（2）当时，的单减区间为当时，的单减区间为，单增区间为当时，的单减区间为,单增区间为2.已知函数在某区间上递增（减），求参数的范围（1）已知函数，曲线在点处的切线恰好与直15游手好闲的学习并不比学习游手好闲好。——约·贝勒斯线垂直。若函数的取值范围。答案：（2）已知函数若函数上是单调函数，求实数的取值范围。（提示：转化为不等式恒成立问题）已知函数(Ⅰ)若函数上是单调函数，求实数的取值范围；(Ⅱ)当t1时，不等式恒成立，求实数的取值范围．．解：（Ⅰ）函数，………………1

6、分，…………3分因为函数在区间（0，1）上为单调函数所以只需在区间（0，1）上恒成立，即在区间（0，1）上恒成立，…………5分解得故实数的取值范围是…………7分（Ⅱ）不等式可化为即…………10分记，要使上式成立只须是增函数即可…………12分即在上恒成立，即在上恒成立，故，实数的取值范围是。15游手好闲的学习并不比学习游手好闲好。——约·贝勒斯3.单调性的应用1．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.2．函数是定义在上的可导函数，且，则对于，必有（）A.B.C.D.与关系不能确定3.已知函数则的值一

7、定（）A.大于零B.等于零C.小于零D.正负都有可能4．若函数满足，则当时，A.B.C.D.不能确定(二)函数的极值与导数1.求已知函数的极值设为实数，函数。求的单调区间与极值；答案：，极小值2.已知函数在某点处取得极大（小）值，求参数的值注意：是处取得极值的必要非充分条件(1)若函数在处有极大值，则常数的值为6(2)已知函数在处取得极值2，问函数是否还有其它的极值？若有，求出所有极值，若没有，请说明理由。15游手好闲的学习并不比学习游手好闲好。——约·贝勒斯2008宁夏：设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的

8、解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。解：（Ⅰ），于是解得或因，故．（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．（Ⅲ