连续函数的运算1-10闭连性质

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1、§1.7内容回顾1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小常用等价无穷小:定理设且存在(或为∞),则(或为∞)§1.8内容回顾左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.P65题5提示:证明函数f(x)处处不连续.和无理点列而所以证:对任意实数x0

2、,取有理点列{xn}且xn→x0.不存在,所以f(x)在x0处不连续.由x0的任意性得,函数f(x)处处不连续.而显然处处连续.证明函数f(x)仅在x=0处连续.和无理点列而所以(2)对任意实数x0(≠0),取有理点列{xn}且xn→x0.不存在,(1)在x=0处.因为所以f(x)在x=0处连续.≠函数f(x)在非零点处,处处不连续.总之函数f(x)仅在x=0处连续.证:一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性第一章定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函

3、数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调在上连续.证:先证明所以由得,(不妨设a>1)记0

4、与极限符号可交换次序)例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.二、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义的区间内连续P67例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点.而但不能说x=2nπ是函数的间断点.例2.求解:原式例3.求解:令则原式例4.求解:原式说明:若则有“1∞”型常用此法特别对于填空题－1+1若则例4.解:所以,原式==6

5、,若则(91考研)(93考研)(95考研)(03考研)P748(6)=令=所以原式=e0=1.例5.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不连续,内容小结基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义的区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.思考与练习续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业P683(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成

6、立.一、最值定理二、介值定理§1.10闭区间上连续函数的性质第一章注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,推论.由定理1可知有证:设上有界.二、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间

7、上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在称为函数的零点定理或根的存在性定理.作业P73题2;3;4证:令1.设备用题证明:方程在(0,1)内至少有一个正根.且反证,设上无零点,则不变号,不妨设F>0.+)>0>0>0>0>0矛盾.所以…正根,且不超过a+b.证：2.

8、证明:方程令且根据零点定理,总之原命题得证.内至少存在一点在开区间显然至少有一个(1)若上式等号成立,则有正根a+b(不超过a+b).(2)若上式等号不成立,为原方程的一个正根.(也不超过a+b).3.斜渐近线问题(P7513)直线L:y=ax+b是曲线y=f(x)的渐近线而点M(x,f(x))到直线L的距离反之,若(a≠0时L是曲线y=f(x)的斜渐近线)