高等数学1-10闭区间上连续函数的性质

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1、一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理闭区间上连续函数的性质1最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)最大值与最小值举例:函数f(x)=1+sinx在区间[02p]上有最大值2和最小值0一、有界性与最大值最小值定理2函数y=sgnx在区间(-+)内有最大值1和最小值-1但在开区间(0+)内它的最大值和最小值都是1最大值与最小值举例:一、有界性与最大值最小值定理最大

2、值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)3并非任何函数都有最大值和最小值例如，函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值应注意的问题:一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)4说明:定理1(最大值和最小值

3、定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值又至少有一点x2[ab]使f(x2)是f(x)在[ab]上的最小值至少有一点x1[ab]使f(x1)是f(x)在[ab]上的最大值定理说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么5应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例如函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值6又如如下函

4、数在闭区间[02]内既无最大值又无最小值应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值7定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明设函数f(x)在闭区间[ab]上连续根据定理1存在f(x)在区间[ab]上的最大值M和最小值m使任一x[ab]满足mf(x)M上式表明f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界定理1(最

5、大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值8注:如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0二、零点定理与介值定理9例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x3-4x2+1则f(x)在闭区间[01]上连续并且f(0)=1>0f(1)=-2<0根据零点定理在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x3-4

6、x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=010定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(a

7、b)内至少存在一点x使f(x)=011二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C12作业习题1.3(P60):13.16.18.13