高等数学_闭区间上连续函数的性质.ppt

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1、第七节一、最大值最小值定理二、零点定理与介值定理闭区间上连续函数的性质第二章定义例如,一、最大值最小值定理定理2.18(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的即:设则使函数在该区间上一定有最大值和最小值.(证明略)1°若区间是开区间,定理不一定成立;2°若区间内有间断点,定理不一定成立.注f(x)在[0,2]上无最大值和最小值推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.例1证yxoAA-1A+1-XX定理2.19(零点定理)至少存在一点使(证明略)定义如果则称为f(x)的零点.二、零点定理与介值定理定2.2

2、0(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,至少有一点证作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即使推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的一切值.例2至少有一个不超过4的证证明方程令且由零点定理,知原命题得证.显然正根.使例3证由于f(x)在[a,b]上连续,有最大值M和最小值m，故f(x)在由介值定理的推论知，则使得内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的一切值;4.当时,使必存在上有界;在在1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:

3、建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:则证明至少存在使提示:令则易证2.设一点备用题例2-1证明方程证显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有一个根.例2-2证证明任一奇数次代数方程至少有一个实根.设奇数次代数方程为由于又由零点定理知,即方程至少有一个实根.例2-3证令由零点定理，知(0,a+b),使证由零点定理,例2-4上连续,且恒为正,例2-5在证明:对任意的必存在一点使分析证令,则使故由零点定理知,即当时,取或则有当时,例2-6证令方法1(用反证法)假设：……这与题设条件矛盾！方法2…从

4、而要么此时，命题成立；要么则由零点定理，知