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时间:2020-04-05
《高等数学1.11 闭区间上连续函数的性质.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、§1.11闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值二、介值定理最大值与最小值、最大值和最小值定理、有界性定理零点、零点定理、介值定理一、最大值与最小值举例:最大值与最小值:对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0I,使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)函数f(x)=1+sinx在区间[0,2p]上有最大值2和最小值0.012xyO1-1函数f(x)=sgnx在区间(-,+)内有最大值1和最小值-1.一、最大值与最小值举例:最大值与最小值:对于在区间I
2、上有定义的函数f(x),如果有x0I,使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)xyO1在开区间(0,+)内,sgnx的最大值和最小值都是1.一、最大值与最小值举例:最大值与最小值:对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0I,使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)但函数f(x)=x在开区间(a,b)内既无最大值又无最小值.xyOy=xab一、最大值与最小值举例:最大值与最
3、小值:对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0I,使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)注1:定理1说明,如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么至少有一点x1[a,b],使f(x1)是f(x)在[a,b]上的最大值,又至少有一点x2[a,b],使f(x2)是f(x)在[a,b]上的最小值.abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x)定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.注2:如果函数在开区间内连
4、续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.在开区间(a,b)考察函数y=x.函数f(x)=x在开区间(a,b)内既无最大值又无最小值.xyOy=xab定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.在闭区间[0,2]考察函数yx2112O函数y=f(x)在开区间[0,2]内既无最大值又无最小值.注2:如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.证明设函数f(
5、x)在闭区间[a,b]上连续.由定理1,函数f(x)在区间[a,b]上有最大值M和最小值m,使任一x[a,b]满足mf(x)M.上式表明,f(x)在[a,b]上有上界M和下界m,因此函数f(x)在[a,b]上有界.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.二、介值定理零点:如果x0使f(x0)=0,则x0称为函数f(x)的零点.abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与
6、f(b)异号(即f(a)f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点x(a0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0,1)内至少有一点x,使得f(x)=0,即x3-4x2+1=0(07、数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点x(a8、)的一个零点,即至少有一点x(a
7、数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点x(a8、)的一个零点,即至少有一点x(a
8、)的一个零点,即至少有一点x(a
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