高等数学上-闭区间上连续函数的性质.ppt

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1、第八节闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有很多重要性质.这些性质在以后各章的学习中经常用到.这些性质,从几何上是容易理解的,但要给出完整而严格的证明,有时却是比较困难的.本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质,并从几何上对这些性质予以解释.一、最大值最小值定理定义设定义在区间上，则称为函数在区间上的最大值；为最大值点，若存在点使得对每一个都有则称为函数在区间上的最小值；为最小值点，若存在点使得对每一个都有并记并记例函数在整个区间上的最小值为,但无最大值.闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值定理1（最大值最小值定理）.和最小值.从右边的图中可

2、以看出,若函数在闭区间上连续,则在点和处分别取到最大值和最小值.证明从略.用简单的数学符号，定理1可表述为：值得注意的是，定理1中的条件在闭区间上连续，不能改为开区间.证因存在，由局部有界性定理，存在例设函数在内连续，且存在，由于区间可以表示为由于函数连续，故函数在闭区间有界.证明在内有界.使得在内有界；由此得函数在内有界.二、零点定理与介值定理在初等代数中,我们熟知这一个事实:从几何上我们可以很清楚地看到则一定存在对多项式函数，若存在使得该问题的实际意义.但该问题对于一般函数而言，结论不成立.注意到：例如，但不存在关键原因在于函数不连续.定理2(零点定理)定

3、理2可用符号表述为：若函数在闭区间上连续，且异号，则函数在开区间内至少存在一个零点.从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧的两个端点分别位于轴的两侧，则曲线弧与轴至少有一个交点.例证明方程在区间内有唯一的根.证令由零点定理，必存在，使得又函数是单调增加函数，故零点是唯一的.例任何实系数奇次多项式方程必有实根。证设实系数奇次多项式方程为因不妨设.记可见：故，存在使得使得同理存在使得因由零点定理，知存在证作函数则且且,则对于介于与之间的任何实定理3(介值定理)若函数在闭区间上连续,数在区间内至少存在一点使得即由零点定理,存在使得注零点定理是介值定理的特殊情况.之间的

4、任何值.即推论1闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值为闭区间.推论2闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射