空间直角坐标系与向量(II)

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1、数量关系—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、空间直角坐标系三、向量的线性运算二、向量的概念空间直角坐标系与向量代数第七章ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面Ⅰ1.空间直角坐标系的基本概念向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标

2、:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:为空间两点.在直角三角形和中,用勾股定理2.空间两点间点的距离空间两点间距离公式例1.在y轴上求与两点解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?等距离的点.向量表示:向量的模:向量的大小,二、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零

3、向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;模、方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:空间一点在轴上的投影过点A

4、作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上的投影.空间一向量在轴上的投影轴u称为投影轴.已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为那么轴u上的有向线段的值,称为向量在轴u上的投影.1.向量在轴上的投影三、向量的线性运算Projection在轴u上的向量轴与向量的夹角的余弦：向量在轴u上的投影记为投影性质1投影等于向量的模乘以投影有正、注负之分;模只为正值.（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.投影性质2：两向量和在轴上的投影uABcA´B´c´投影性质31证uBA例+21,uuBA坐标依次为、.)(12euur-

5、=eueurr12-=2.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的投影如是与轴u正向一致的单位向量,因此可知:上坐标分别为起点终点向量在x轴上的投影向量在y轴上的投影向量在z轴上的投影按基本单位向量的坐标分解式：向量的坐标表达式：坐标坐标坐标x轴分向量y轴分向量z轴分向量特殊地例+.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例+.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.3、向量的加减法--加法

6、三角不等式定义2：设则减法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此4.向量与数的乘法性质1.设a为非零向量,则a∥b(为唯一实数)设则定义3：性质2.取方向与三个坐标轴正向相同的单位向量则任意向量可分解为例2.解:由向量的运算性质得求例3.证明连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。证明:所以有且例4.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:5、两向量的数量积1）.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点

7、积).5、两向量的数量积记作故2）.性质为两个非零向量,则有3）.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;4）.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得例5.已知解:求故例6+.已知三点AMB.解:则求故1）.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称例如力矩思考:右图三角形面积S＝6、两向量的向量积2）.性质为非零向量,则∥∥3）.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:4）.向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法(行列式计算见P339～P342)例6已知求与都垂

8、直且满足如下之一条件的向量:(1)为单位向量;(2),其中解与都垂直,所以与(2)设,则又得所以(1)例6+.已知三点角形ABC的面积.解:如图所示,