(奥校)正余弦定理及解三角形

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1、正余弦定理和解三角形一、知识要点1、引理三角形面积公式：2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即。3、正弦定理有如下的变形公式：（1）；（2）；（3）4、余弦定理：在△ABC中，有c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．变形公式：5、在三角形中，我们把三条边（a,b,c）和三个内角（A，B，C）称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素（至少一个是边），便可以求出其余的三个元素（可能有两解、一

2、解、无解），这个过程叫做解三角形。正余弦定理的主要作用是解斜三角形。6、三角形中的各种关系设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．1．角与角关系：A+B+C=π，2．边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb．3．边与角关系：1）正弦定理2）余弦定理及它们的变形形式4．三角形内角定理的变形由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．而．有：，．7、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和

3、一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．13二、典型例题例1、在△ABC中，已知，，B=45°求A、C及c.变式1、变式2、在例2、在中，AB=

4、2，AC=1，AD为BC边上的中线，，求BC。变式3、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边AC上的中线BD的长为。13变式4、在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB例3、在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形变式5、在中，若下列等式成立，分别判断的形状：（1）acosA=bcosB（2）sinC=2cosAsinB（3）例4、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长。变

5、式6、已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.13例5、如图，平面上有四个点A、B、P、Q，A、B为定点，且AB=，P、Q为动点满足关系AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S、T。（1）求S2+T2的取值范围；（2）当S2+T2取得最大值时，判断△APB的形状。AQPBSTθ变式7、如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形O

6、PDC面积的最大值。13OP东北例6、在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市Ｏ（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动。台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？变式8、据气象台预报，距S岛300ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30　ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270ｋｍ以内的地区将受到台风的影响。问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久

7、?说明理由.例7、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）.DCBA1.2m2m1m13三、巩固练习（A基础夯实）1、中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（）2、已知的面积为，则角C的度数为（）A、1350B、1200C、600D、4503、在中，若，则必定是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形4、在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=7

8、5°，则BC的长为.5、已知锐角三角形的边长为1、3、a，则a的取值范围是.6、在△ABC中，已知A=1200,b=3,c=5,则的值为.7、在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。8、在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明：.（B能力提高）9、如图，在600的的内部有一点P，P到边AX的距离是PC=2，P到边AY的距离是PB=11，求点P到顶点A的距离。10、在一很大的湖岸