离散傅立叶变换(I)

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1、第三章　离散傅立叶变换CHARPTER3DISCRETEFOURIERTRANSFORM第一节　傅立叶变换的几种形式第二节　周期序列的傅立叶级数第三节　离散傅立叶变换定义及性质第四节　离散傅立叶变换的应用7/15/20211第一节离散傅氏变换的形式傅氏变换是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的一种变换关系，当自变量“时间”和“频率“取连续值或离散值时，就形成不同的形式的傅立叶变换对。7/15/20212一、非周期连续时间、频率－傅氏变换非周期连续时间信号x(t)和它的频谱密度函数X(jΩ)构成的傅立叶变换对为：以连续时间矩形脉冲为例：x(t)t(a)非周期

2、连续时间函数x(t)X(jΩ)Ω(b)非周期连续频谱X(jΩ)7/15/20213二、周期连续时间、离散频率－傅氏级数周期为T的连续时间信号x(t)傅氏级数系数为X(jkΩ)：X(jkΩ)是以角频率Ω为间隔的离散函数(离散频谱)，Ω与时间信号周期之间的关系：傅氏级数将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为Ω整数倍的谐波，k为各次谐波序号。x(t)T-T(a)周期连续时间函数x(t)ΩX(jkΩ)(b)非周期离散时间函数X(jkΩ0)7/15/20214三、非周期离散时间、连续频率－序列傅氏变换非周期离散时间信号(序列)的傅氏变换：式中ω是数字频率。若序列x(n)由模拟信号x(t)

3、抽样所得，抽样间隔为Ts，则抽样角频率为ΩS=2π/Ts。由于ω=ΩT，所以ωS=ΩSTS，上式亦可表示为:7/15/20215时域的离散造成频域的周期延拓时域的非周期性对应与频域的连续性tTSx(nT)(a)离散时间序列X(ejΩT)ΩΩS-ΩS0(b)序列的频谱离散时间序列及其频谱:7/15/20216对于一个有限长序列将其以N为周期进行周期性延拓得：由于周期序列不是绝对可和，无论z取任何值，其z变换都是不收敛的，即：因此周期序列不能用z变换或傅立叶变换来进行讨论。第二节周期序列的离散傅氏级数7/15/20217一、离散傅立叶级数定义设是周期为T的模拟信号的抽样，每个周期抽样

4、N个，即。则也是周期的，周期为或N，将展成付氏级数：是付氏级数系数，离散非周期.对上式抽样：7/15/20218抽样间隔为的序列的频谱函数应以ΩS=2π/Ts为周期；因为是离散和周期的，所以频谱函数也是离散、周期的。上式表明频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N，即离散傅氏变换的时间序列和频率序列的周期都是N。7/15/202197/15/202110(a)周期离散时间序列tx(n)TST02T0-T0-2T00Ω0ΩS-ΩSΩX(k)(b)周期离散时间序列的频谱从而得到离散傅立叶变换对为：7/15/202111离散傅立叶级数表明　是以N为周期的周期序列，其基波成分为　　　，k次谐

5、波成分为　　　，　　为DFS的k次谐波分量的复系数。由于　　的周期性，当已知0→N-1次谐波成分后，根据周期性就可以确定其余的谐波分量。令　　　　，则DFS变换对可写成：7/15/202112二、离散傅立叶级数的性质假定　　和　　是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为１、线性式中　为任意常数，可见由两个离散周期序列和　　线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。7/15/202113２、移位特性时域移位频域移位如果≥N,那么证明：7/15/202114３、时域卷积特性两个周期都为N的周期序列　　和　　，它们卷积的结果也是周期为N的周期序列，即m的取值由

6、0～（N-1），因此称为周期卷积。7/15/202115设若则有这就是时域卷积定理。周期卷积与DFS的关系7/15/202116证明：7/15/202117４、频域卷积特性对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。若则7/15/202118第三节　离散傅立叶变换设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是周期为N的周期序列　　的一个主周期，而将　　看作是x(n)以N为周期进行周期延拓得到，即同理7/15/202119反变换：离散傅立叶变换的正变换：7/15/202120二、离散傅立叶变换的性质１、线性若两个有限长序列　　和　　的线性组合：则有：式中　　为任意常数。若　

7、　和　　长度均为N，则　　长度为N；若　　和　　的长度不等，分别为N1和N2，则　　的长度为N=max[N1，N2]。若　　和　　都是N点的有限长序列，有：7/15/202121有限长序列x(n)的圆周移位是以其长度N为周期，将其延拓成周期序列并进行移位，然后取主值区间（n=0到N-1）上序列值。一个有限长序列的右圆周移位定义为：２、序列的圆周移位x(n)x((n))Nx((n-2))Nx((n-2))NRN(n)nnnn0000N-1N-1N-1N-17/15/202122证明