离散傅立叶变换(本科)

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1、数字信号处理DigitalSignalProcessing第三章离散傅里叶变换DFT:DiscreteFourierTransform郑州大学物理工程学院xxx第三章学习目标理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程一、Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换傅

2、里叶变换—总结连续时间、连续频率—傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。连续时间、离散频率—傅里叶级数时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的离散时间、离散频率—离散傅里叶变换一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的离散时间、离散频率—离散傅里叶变换DFT的简单推演(从序列的连续变换)在一个周期内，可进行如下变换：视

3、作n的函数，视作k的函数，这样,正反四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)二、周期序列的DFS及其性质周期序列的DFS正变换和反变换：其中：可看作是对的一个周期做变换然后将变换在平面单位圆上按等间隔角抽样得到DFS的性质1、线性：其中，为任意常数若则2、序列的移位DFS的性质3、调制特性DFS的性质4、周期卷积和若则DFS的性质05…054321…432154…543210…32

4、1043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345…-4-3-2-11086101412同样，利用对称性若则三、离散傅里叶变换（DFT）同样：X(k)也是一个N点的有限长序列有限长序列的DFT正变换和反变换：其中：x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽样。四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：离散傅里叶变换的性质1、线性：这里，序列长度及DFT点

5、数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则离散傅里叶变换的性质2、序列的圆周移位定义：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。离散傅里叶变换的性质调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质3、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：其中：任意序列可表示成和之和:离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：离散傅里叶变换的性质定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列

6、：离散傅里叶变换的性质圆周共轭对称序列满足：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质圆周共轭反对称序列满足：离散傅里叶变换的性质同理：其中：离散傅里叶变换的性质序列DFT共轭对称性离散傅里叶变换的性质序列DFT实数序列的共轭对称性离散傅里叶变换的性质纯虚序列的共轭对称性序列DFT离散傅里叶变换的性质例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质4、复共轭序列离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质5、DFT形式下的Parseval定理离散傅里叶变换的性质离散傅里叶

7、变换的性质6、圆周卷积和若则离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NNN离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质…-3-2-101234567…543210111100…10011110011……11110011110…1001111100111110011111000111100011118101214106离散傅里叶变换的性质同样，利用对称性若则离散傅里叶变换的性质7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积线性卷积：N点圆周卷积：NN离散傅里叶变换的性质讨论圆周卷