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1、实验二离散傅立叶变换一、实验目的掌握离散傅里叶变换的有关性质。利用matlab验证有关性质。利用傅立叶变换进行相关运算。二、实验原理及方法在工程技术的许多分支中，要掌握的基本内容之一就是正确理解时域和频域的关系。对于数字系统来说，就是要精通离散傅立叶变换，因此离散傅立叶变换在数字信号处理中占有十分重要的地位。在实际应用中，有限长序列有相当重要的地位，由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。傅里叶变换建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量的“频率函数”(频谱
2、)之间的某种变换关系。所以“时间”或“频率”取连续还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。四种不同傅里叶变换对傅里叶级数(FS)：连续时间,离散频率的傅里叶变换。周期连续时间信号傅里叶级数(FS)得到非周期离散频谱密度函数。傅里叶变换(FT)：连续时间,连续频率的傅里叶变换。非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换。非周期离散的时间信号(单位园上的Z变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。离散傅里叶变换(DFT):离
3、散时间,离散频率的傅里叶变换。上面讨论的前三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的。因为从数字计算角度我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是第四种离散傅里叶变换。离散傅里叶级数(DFS)设为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:正变换逆变换其中利用MATLAB实现傅立叶级数计算编写函数实现DFS计算functionxk=dfs(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n’*k;WNnk=WN.^nk
4、;xk=xn*WNnk;例：xn=[0,1,2,3]，N=4xn=[0,1,2,3];N=4;xk=dfs(xn,N)’逆运算IDFSfunctionxn=idfs(xk,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n’*k;WNnk=WN.^(-nk);xn=xk*WNnk/N;离散傅立叶变换的正、逆变换定义为：比较正、逆变换的定义式可以看出，只要把DFT公式中的系数改为，并最后乘以1/N，那么，DFT的计算程序就可以用来计算IDFT。例：已知序列试绘制序列及其傅立叶变换幅度谱N=
5、100;n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);xk=dft(xn,N);magxk=abs(xk);subplot(2,1,1)plot(n,xn)subplot(2,1,2)k=0:length(magxk)-1;plot(k,magxk)DFT的应用DFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。DFT的特性周期性对称性线性时移频移共轭折叠实序列的对称性卷积例：分析：因为x(n)是复指数，它满足周期性，我们将在两个周期中的401个频点上作计算来观
6、察其周期性。利用MATLAB对DFT的特性进行验证n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);检验频移特性乘以复数指数对应于一个频移令n=0:100;x=cos(pi*n/2);k=-100:100;w=(pi/100
7、)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);y=exp(j*pi*n/4).*x;Y=y*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(X));axis([-1,1,0,60]);subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(X)/pi);axis([-1,1,-1,1]);subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(Y));axis([-1,1,0,60]);subplot(2,2,4);plot(w/
8、pi,angle(Y)/pi);axis([-1,1,-1,1]);从图中可以看出幅值和相位均沿频率轴平移了从差分方程求频率响应当LTI系统用差分方程表示如下：上式做变换消去共有项得例：一个LTI系统的差分方程如下：y(n)=0.8y(n-1)+x(n)求H(ejw)求出并画出它对输入的稳态响应把差分方程改写成y(n)-0.8y(n-1)=x(
