离散傅立叶变换

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1、第三章离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform)离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform）DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法。时域T和频域ω皆离散的一种变换。FastFourierTransform,FFT是DFT的一种计算机算法实现。本章要点本章内容一.引言二.周期序列的离散傅立叶级数三.离散傅立叶变换四.频域采样定理五.利用DFT对连续时间信号的逼近六.抽取和插值DFT是分析有限长序列的有用工具，它既是理论分析的重点，也是实际运算的核心，在本质上，有限长序列的离散傅立叶变换和周期序列的离散傅立叶级数上一样的

2、。DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法，时域和频域皆离散的变换。FFT算法是DFT变换的计算机算法实现。一、引言DFT要解决两个问题：时域频域的离散(t-n,w-k)与幅值的量化快速运算(FFT)数字信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化当两个变量域的自变量分别取连续和离散值时，形成不同形式的傅立叶变换对。连续时间非周期信号的傅立叶变换为域连续性周期性时域连续非周期频域连续非周期傅立叶变换傅立叶级数当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数域连续性周期性时域连续周期频域离散非周期对离散序列x(n)，其傅立叶变换为若x(n)是信号x(t)的采样序列，采

3、样间隔为T,则有：序列的傅立叶变换域连续性周期性时域离散非周期频域连续周期上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。域连续性周期性时域离散周期频域离散周期时域的离散造成频域的延拓（周期性）。因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。离散傅立叶变换对序列的傅立叶变换在频域上加以离散化，令从而x(n)四种形式归纳类型时间函数频率函数关系傅立叶变换连续非周期连续非周期傅立叶级数连续周期(T0)离散(Ω0)非周期序列傅立叶变换离散(Ts)非周期连续周期(Ωs)离散傅立叶变换离散(Ts)周期(T0)离散(Ω0)周期(Ωs)清议2009-11-

4、01：向钱学森学习科学法则:28年前(注：1981年)，当我还是个懵懵懂懂的学生时，曾斗胆向内心崇敬的钱学森教授邮寄过一篇探讨系统科学应用于农业经济的万言文，恳求老先生百忙中拨冗赐教。没想到，一个多月后的一天，我居然收到了钱学森教授字迹工整、笔划略微颤抖的亲笔回信。当时的心情格外激动。28年后，当得知钱学森教授已驾鹤西去的消息时，我在沉痛悼念老先生一生科学救国、功勋万代之余，因当年承蒙教诲而感慨万千。“任何学科的研究对象都是十分特定的”。这句话，是我从钱学森教授那封亲笔回信中感悟最深的。虽然经济学在方法论上无法与物理学相比，但这句话被我一直当作研究经济问题必须

5、遵循的科学法则。打那以后，我渐渐深信，能够被冠以科学的学问，一定是杜绝了任何形式的空泛，对研究对象或问题本质的把握恰如其分，容不得丝毫马虎。王大麻子2009-11-01:一个人拥有知识和爱国情怀之后，拥有良知最重要。。。正是那些有良知的思想家和科学家，使人类的星空灿烂无比，使人类能够达到更高的道德高度。对一个周期为N点的周期序列显然（周期循环，永不衰减）周期序列不绝对可和。故Z变换不存在。类似连续时间信号的傅立叶级数分析，我们有序列的离散傅立叶级数。二、离散傅立叶级数（DFS）对周期为N的复指数序列e(n)基频序列：K次谐波：对集合即集合有且仅有N个的独立变量

6、。且具有正交性：周期复指数序列因而X(n)可表示为：*当且仅当k=r时值为N。故显然即：离散周期序列的离散傅立叶级数(DFS)在频域是仍然为一个离散的周期序列。记旋转因子：可得离散傅立叶级数变换对：周期序列的DFS可以看成是对序列的某一个周期x(n)作Z变换，然后在Z平面单位圆上等间隔2π/N采样得到的：对周期序列，只要研究一个周期的性质，就可以“窥一斑而知全貌”。对周期序列，在一个周期的所有点的信息描述了该序列的情况。并且可用DFS来加以分析。对长度为N的有限长序列x(n)，可以视作是周期为N的周期序列，从而利用周期序列的DFS来加以分析和研究。有限长序列的

7、傅立叶变换称为离散傅立叶变换DFT(DiscreteFourierTransform)三、离散傅立叶变换DFT余数运算表达式若：m为整数；则：上式表示（n模N），即“n对N取余数”。n1是余数运算表达式的解，为n对N的余数。一般：称为“主值区间”。定义对有限长序列x(n)，构造其周期延拓序列将DFS的求和限于主值区间，得到了有限长序列x(n)的离散傅立叶变换DFT。其中：x(n)为时域有限长序列，n是时间t的离散，X(k)是频域有限长序列，k是数字频率的离散有限长序列的DFT变换对用一个公式描述了两个序列(N点)之间的相互关系，是同一个信号在不同变换域中的体

8、现，二者信息等量，互为一一确定。DFT