§15.4正弦定理、余弦定理

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1、教　案　用　纸　附　页南通工贸技师学院南通工贸技师学院教案首页授课日期班级15对口2课题：§15.4正弦定理、余弦定理教学目的要求：推导并掌握正弦和余弦定理，懂得运用这些公式解决实际问题教学重点、难点：定理的推导及相关题型的应用授课方法：讲授法教学参考及教具（含多媒体教学设备）：三角板，圆规，PPT授课执行情况及分析：板书设计或授课提纲PPT演示§15.4正弦定理、余弦定理1、正弦定理2、余弦定理3、课堂练习4、课后作业教　案　用　纸　附　页南通工贸技师学院教　学　内　容、方　法　和　过　程附　记1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的

2、边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝；cosB＝；cosC＝2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)．(2)S＝bcsinA＝absinC＝acsinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)问题1：在△ABC中，a＝，

3、b＝，A＝60°求c及BC问题2在△ABC中,c=6A=30°B=120°求ab及C问题3在△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝，则b＝通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决(1)已知三边，求三个角；复习提问板书学生思考教　案　用　纸　附　页南通工贸技师学院(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】(1)(2013·

4、湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝______.解析　(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝sinB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈，∴A＝.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，即b＝5.所以sinC＝＝＝

5、.答案　(1)A　(2)【训练1】(1)在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝(　　)．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝A．30°B．60°C．120°D．150°点名板演板演教　案　用　纸　附　页南通工贸技师学院解析　(1)由正弦定理，得＝，解得：sinC＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.(2)∵sinC＝2sinB，由正弦定理，得c＝2b，∴cosA＝＝＝＝，又A为三角形的内角，∴A＝30°.答案　(1)

6、B　(2)A规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．解　(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∴A＝60°.(2)∵A＋

7、B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.∵0°