2011级微积分(上)理工课程试题A

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1、一、计算下列各题：（共60分）1、（5分）求极限2、（5分）求在处的微分。3、（5分）求的一阶导数。4、（5分）求极限。5、（5分）求不定积分。6、（5分）判定级数的敛散性。7、（5分）设，求。8、（5分）求由方程所确定的隐函数的一阶导数。9、（5分）求不定积分。10、（5分）计算定积分。11、（5分）求幂级数的收敛半径、收敛区间。12、（5分）设由确定，求在处的切线方程。二、解答或证明下列各题：（共40分）1、（6分）设函数，讨论函数在处的连续性，可导性；若函数在可导，求出。2、（6分）证明：当时，。3、（6分）证明：对任意正整数，方程有唯一正

2、根。4、（6分）讨论的间断点，并指出类型。5、（8分）设曲线与直线，所围成的图形为A，求平面图形A面积，及图形A绕旋转一周所产生的旋转体体积。6、（8分）设函数由方程所确定，求的驻点，并判定其驻点是否为极值点。1、2、3、=4、5、6、因为，所以原级数发散。7、8、对原方程两边关于x求导得9、设，则，10、11、，故。当时，发散，由于。当时，发散，由于极限不存在。故收敛区间（-1，1）。12、对原方程两边关于x求导，得令，得，即于是切线方程为，即y=x。二、1、，故连续。，，不可导。2、设，显然在上连续，在内可导，有拉格朗日中值定理：，有，即得结

3、论。此题也可用单调性，最值法来证。3、，由闭区间上连续函数性质即的至少有一根，又因为，故有唯一正根。4、，故x=0为可去间断点。，，故x=1为跳跃间断点。5、。=。6、对原方程两边关于x求导，得令，有y=x，代入原方程，得驻点x=1，在对上式关于x求导，得，由于，故x=1为极小值点，极小值为1。