2017届高考一轮复习讲义2.3函数的单调性(教师)

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1、东海县高考文化补习学校2017届高考一轮复习讲义第二章函数与基本初等函数Ⅰ2．3函数的单调性一．要点集结1.单调性的概念如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1

2、个区间上是增函数；②若,则f(x)在这个区间上是减函数.基础自测1．若函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋8在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．[解析]由题意知：函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋8的单调减区间为(－∞，(1＋a)]，又函数在(－∞，4]上为减函数，所以有4≤1＋a，解得a≥3.2．函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调增区间为________．[解析]由题意知x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5，即函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，根据外函数

3、为单调增函数，而内函数u＝x2－4x－5＝(x－2)2－9在(5，＋∞)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，＋∞).3.若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[解析]令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0.∴∴－40的解集为(0,1)，可知a＝1.5．证明：f(x)＝x＋在(－∞，－1)上是增函数．[证明]　

4、设x1，x2是(－∞，－1)内的任意两个不相等的负实数，且x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝，∵x11>0.∴x1x2－1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.所以f(x)＝x＋在(－∞，－1)上是增函数．二．考点探究考点1.函数单调性的判定例1.已知函数f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[,1]上是减函数,求实数a的取值范围.解:当0

5、,解得01时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[,1]上是减函数,则,无解.故实数a的取值范围00，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．[解析](1)当a>0，b>0时，设任意x1，x2∈R，x10∴a(2x1－2x2)<0,∵3x1<3x2，b>0∴b(3x1－3x2)<0，∴f(x1

6、)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．综上所述：ab>0时，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，当a<0，b>0时，()x>－，则x>log1.5(－)；当a>0，b<0时，()x<－，则x0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;(2)解不等式:f(x2-x)+f(3x

7、)+2>0.证明：(1)任取定义域(－∞，＋∞)内x1、x2且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＝－f(x2－x1)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞,＋∞)上单调递减．(2)∵f(1)=－，∴－2＝f(1)+f(1)+f(1)＝f(3)，由已知得f(x2－x)+f(3x)>－2=f(3)．∴f(x2－x+3x)＜f(3)又∵f(x)在R上递减，∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.∴原不等式的解集为{x

8、－3＜x＜1

9、}．变式：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(