2017届浙江省温州中学高三2月奥赛班数学模拟评估试题卷

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1、班级：姓名：2017年温州中学奥赛班数学模拟评估{MATHEMATICS}（本卷满分：150分考试时间：150分钟）一、填空题（共15小题，1~14题5分，15题6分，计76分）．1.已知，则的最大值为．2.已知，，若，则的取值范围是．3.已知，，，，，若存在正数使得对于任意正数，可使为三角形的三边构成三角形，则的值是．4.若不等式在且时恒成立，则的取值范围是．5.已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是．6.已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作的平行线，分别交于M，N两点．若为定值，则的值是．

2、7.A是集合{1,2,3,…,14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值是．8.模长为1的复数x，y，z满足，则的值是．9.若在有唯一解，则的值是．10.已知点和双曲线右支上的两个动点B，C，在动点B，C运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC，则点A横坐标的取值范围是．11.若为实数，若关于x的方程有实数解，则的取值范围是．12.在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲

3、密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为．13.正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有．如果B、M、N共线，则r的值为．14.已知AB为上在y轴两侧的点，则过AB的切线与x轴围成面积的最小值是．15.坐标系内平面内绕轴旋转一周构成一个不透光立体，在13页设置一光源，在平面内有一以原点为圆心被光照到的长度为，则曲线上未被照到的长度为．二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．1.已知正方体

4、ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，且．记点P的轨迹的长度为．求关于r的方程的解的个数的所有可能的值．2.过抛物线（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．(Ⅰ)求PQ的中点R的轨迹L的方程；(Ⅱ)证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．3.⑴已知数列中，，，为数列的前n项和，求证：．⑵在数列中，，，，其中实数．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对一切有，求c的取

5、值范围．4.⑴已知函数与函数的图像有且只有一条公切线，求实数m的值．⑵已知函数有两个不同的零点，，求证：．1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.13页11.12.13.14.15.16.17.13页18.19.2017年2月温州中学奥赛班模拟数学评估试题<答题卷>制备人：前进者2017年温州中学奥赛班数学模拟评估（参考答案）13页[MATHEMATICSExaminationpaperreferenceanswer]（本卷满分：150分）一、填空题（共15小题，1~14题5分，15题6分，计76分）．1、2、3、4

6、、5、6、27、88、19、110、11、12、（注：第12题若写0.676也得分）13、14、15、二、解答题（本大题分4小题，共80分）．16、(16分)(可能有多种解法)13页17、(16分)(可能有多种解法)13页(Ⅰ)解：的焦点F，设直线l的方程为，由，得，设M，N的横坐标为x1，x2，则，得，，由PQ⊥l，得PQ的斜率为，故PQ的方程为，代入yQ=0，得，设R的坐标为，则，整理得：，∴PQ的中点R的轨迹L的方程为；(8分)(Ⅱ)证明：显然对任意非零整数t，点都是l上的整点，故l上有无穷多个整点．反设l上由一

7、个整点到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，则，13页∵p是奇素数，于是y整除p，由②可推出x整除p，再由①可推出m整除p，令x=px1，y=py1，m=pm1，则有，由③，④得：，于是，则8x1+1+8m1=17，8x1+1﹣8m1=1，得x1=m1=1，故y1=0，有y=py1=0，与l上的点满足y≠0矛盾．∴轨迹l上有无穷多个整点，但l上任意整点到原点的距离均不是整数．(16分)18、(18分)(可能有多种解法)（1）(8分)（2）13页(18分)19、(24分)(可能有多种解法)（1）13页13页

8、(10分)13页13页(24分)13页