2017年温州中学奥赛数学总结评估试题卷、答题卷及参考答案

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1、班级:姓名:2017年1月制备人：前进者2016学年温州中学奥赛总结评估{MATHEMATICS}(模拟)(本卷满分：150分考试时间：120分钟)—、填空题(共70小题，每题7分，计70分).1-x-l

2、,xe(-oo,2)1.设函数=<,则函数F(x)=xf(x)-1的零点个数討(—2),xe[2,+oo)为・222.已知双曲线C：二-莓=l(a>0,b>0),片,巴分别为C的左右焦点.P为aC右支上一点，且使乙FPF亍巴,又AFfB的面积为3血.设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，若存在常数A(A>0),使得ZQF2A=AZQAF2恒成立，则2的值为・3.某学生对一些

3、对数进行运算，如下图表格所示：X0.0210.271.52.8lg兀2ci+/?+c—3(])6^-3Z?-2(2)3a-/?+c(3)l-2o+2b-c(4)X3567Igx26/-/?(5)a+c⑹+a-b-c⑺2(a+c)(8)X8914/lgx3-3f/-3c(9)4a-2b型l-a+2処现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，则出错的数据是4.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，口它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为・5.已知三棱锥A-BCD,DA,DB,DC两两垂直，且ADAB+ABAC+ACAD=90°,则二面角A-BC-D的余弦值的最大值为

4、•6.设。为正实数，若存在实数g,b(兀5ci0,/2>0,c>0,则匕竺+凹2+竺竺的最小值为.a+b2b+3c2c+a9.己知z=r,r>,则丄+z在复平面内的轨迹的焦距为・z10.已知a,b,N

5、15i5169}(dvbvc),且a,b,c构成以整数为公比的递增等比数列，则(a,b,c)的组数为・二、解答题(本大题分4小题，每题20分，计80分).D1.(1)如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC

6、为直径，点£为弧4C的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FDYa,FE=4^a・已知点27?分别为线段FE,FB上的点，使得而=值,FR=AFBf求当RD最短时，平面BED与平而所成二而角的止弦值.⑵如图MBC为正三角形，且BC二CD=2,CD丄BC,将AABC沿BC翻折.若点A的射影在△BCD内，HAB与面ACD所成的角的正弦值为出愆，求114D的长.2.设G和C?是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆.若C和C],C?都相切，则C的圆心轨迹是何种曲线？3.(1)已知函数/(x)=ax3+bx2+0),当05x51时，/z(x)<1,试求G的最

7、大值.(2)已知a>0,函数/(兀)=lnx-tz(x-l),g(x)=ex・(I)经过原点分别作曲线y=/(x)和严g(兀)的切线厶和厶・已知两切线的斜率互为倒数，求证：口<67<乞二1.ee(H)设h(x)=y(x4-1)4-g(x),当兀》0时,h(x)>1M成立，试求实数a的取值范围.4.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率.(I)求#1，P2,P3,卩4；(II)探究数列｛內｝的递推公式，并给岀证明；(III)讨论数列｛几｝的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.1.115.210,11-13.1£2016学年奥赛总结评估[MATHEMATICSE

8、xaminationpaperreferenceanswer]（本卷满分：150分）一、填空题（共70小题，每题7分，计70分）.1、_6_3、_⑶，⑻2、_2_671■1007~4、72-1L1「95、「13)5、一6、_—,—U,+00一3一_42丿1_4丿7、8、9、10、91二、解答题（本大题分4小题，共80分）.11、（10+10二20分）（可能有多种解法）⑴解法一：如图，以B为原点，丽为兀轴正方向，过B作平面BEC的垂线，建立空间直角坐标系，由此得3（0,0,0）,C（0,o,0）,D（0,2g,0）,TFD=FB,BC=CD,:.FC丄BD.FC=2a.当RD丄FB时，RD

9、最短.此时心鬻乎・・・耐琴皿=l・55’—-3—-3—84RQ=-BE=(-a,0,0)./.RD=(0,—a,——a).E(a.0.0).F7RABF24设平面RQD的法向量为q=（血则q•RD=0,q•RQ=0,・：q=(0,1,2).一A・・•平面BED的法向量为直=（0,0,1）,B・・・平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为並.解法二：（确定二面角的平面角一综合方法一）过D作HD//QR/：~FQ=ZFEjFR=^FB