弹性力学课件第2章

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1、弹性力学第2章弹性力学平面问题的基本理论（第二讲）边界条件与圣维南原理平面问题的求解方法常体力问题的应力函数解法弹性力学平面问题的基本方程第2章平面问题的基本理论力平衡微分方程：几何方程：物理方程：构成定解问题边界条件第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件§2.2边界条件？？外力作用物体的形变相对物理量，导出量应力边界位移边界应变边界§2.2.1位移边界条件平面问题中应有关于x方向和y方向的位移边界条件第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件其中，和为指定的沿x方向和y方向位移(平面问题)，Su为给定的位移边界。（在Su上

2、）§2.2.2应力边界条件在力边界上取微小体元dxdy1(平面问题)并考察它的平衡问题,如图所示。第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件由微小体元的x方向合力平衡，有第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件这里，ds为边界上斜边的长度，边界外法线n的方向余弦为l=dy/ds，m=dx/ds，则上式简化为（在Sp上）第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件同样，可建立微元体在y方向上合力和力矩的平衡方程，将微小体元的三个平衡方程汇总后，有其中，Sp为给定的力边界，由于，则重写上式，有（在Sp上）如图所示弹性体，试写出其上

3、、下、左、右四个边界上的应力边界条件。例第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件【解】在上边界y=-h/2上，不存在任何面力，即可以看出，上边界的外法线方向为坐标轴y轴的负方向，因此，它的方向余弦为l=0，m=-1。可以得到，在上边界上应有第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件应用应力边界方程于是，上边界的应力边界条件为注：千万不要想当然地认为是x和y为0，在不确定的情况下，一定要应用边界方程推写应力边界条件！！！！左边界x=0上（外法线的方向余弦为l=-1，m=0）的应力边界条件为第2章平面问题的基本理论§2.2边界

4、条件同理，可给出下边界y=h/2上（外法线的方向余弦为l=0，m=1）的应力边界条件为右边界x=a上（外法线的方向余弦为l=1，m=0）的应力边界条件为如图所示薄板条，在y方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处各应力分量为零。例第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件【证】设AC和AB的方向余弦分别为(l1,m1)和(l2,m2)，可以给出边界条件由于A点是两个边界的交点，因此上述四个方程同时成立。然而，l1l20，m1m20，且取值具有任意性，因此，必有x=y=xy=0，即板中间突出部分的尖端A

5、处各应力分量为零。在AC上：在AB上：在上面这个例题中，弹性体右端面上受到集中力P的作用，应如何给出其边界条件？问题第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件【简短的分析】属于分布力；外力P是集中力。因此，无法直接应用上面所建立的应力边界方程。为了解决这个问题，就必须把集中力等效地转化为分布力，或者把分布（应）力转化为集中力进行处理。这种处理方法的正确与否就是圣维南原理所要论证的要点。§2.2.3圣维南原理第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件圣维南原理表明，如果物体一小部分边界上的面力变换为分布不同，但静力等效的面力（主矢

6、量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南于1855年提出了局部效应原理，以后称为圣维南原理。圣维南原理并没有严格的理论证明。第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件思考题：为什么圣维南原理所提到的是“物体一小部分边界上的面力”而非“集中力”？什么是静力等效？主矢量和主矩所指的是什么？圣维南原理解决了什么问题？重新回到前面所提出的问题上来。弹性体右端面上的集中力P可以转化为与其静力等效的力系，如图所示。第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件显然，转化为分布力

7、的静力等效力系，可以应用应力边界条件方程表示为考虑静力等效条件，应有代入弹性体右端面的力边界条件§2.2.4力（积分的应力）边界条件这样一来，就给出了应用应力边界方程来处理集中力边界的基本方法。第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件圣维南原理给出了答案。问题是：这种处理方法是否正确？？？可以看出，这里的边界条件不同于前面所提到的应力边界条件，它与合力相关，因此称之为力边界条件。它也被称之为积分的应力边界条件。【p32习题2－8(2)】试列出图2－14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边

8、界条件。例第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件它的外法线方向余弦为{0,-1}，由此可得，其应力边界条件为【解】在上边界y=-h/2上，有在下边界y=h/2上，有第2章平面问题的基本理论§2.2边界条件在左端面x=0，分别作用有沿水平方向和垂直方向的集中力FN与FS，以及弯曲力矩M，无