常微分方程数值解法(IV)

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1、绪论在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究微分方程的数值解法是有重要意义的。所谓微分方程数值解法，就是研究利用计算机求解微分方程的近似解的数值方法及相关理论。《微分方程数值解法》是“信息与计算科学”专业的专业基础课程之一，与数值代数、数值逼近和计算几何统称三大核心课程。第一部分常微分方程数值解/*Numeri

2、calMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。解析解法：（常微分方程理论）只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用

3、解析解法。如何求解计算解函数y(x)在一系列节点a=x0

4、olygonalarcmethod*/几何直观是帮助我们寻找解决一个问题的思路的好办法哦定义在假设yn=y(xn)，即第n步计算是精确的前提下，考虑公式或方法本身带来的误差:Rn=y(xn+1)yn+1,称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。说明显然，这种近似有一定误差，而且步长越大，误差越大，如何估计这种误差y(xn+1)yn+1？§1Euler’sMethod截断误差:实际上，y(xn)yn，yn也有误差，它对yn+1的误差也有影响，见下图。但这里不考虑此误差的影响，仅

5、考虑方法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。局部截断误差的分析：由于假设yn=y(xn)，即yn准确，因此分析局部截断误差时将y(xn+1)和yn+1都用点xn上的信息来表示，工具：Taylor展开。欧拉法的局部截断误差：Rn+1的主项/*leadingterm*/§1Euler’sMethod定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。欧拉法具有1阶精度。在xn点用一阶向前差商近似一阶导数Euler’smethod§1Euler’sMethod§1Euler’sMe

6、thod欧拉公式的改进：隐式欧拉法或后退欧拉法/*implicitEulermethodorbackwardEulermethod*/xn+1点向后差商近似导数隐式或后退欧拉公式由于未知数yn+1同时出现在等式的两边，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。收敛性§1Euler’sMethod见上图，显然，

7、这种近似也有一定误差，如何估计这种误差y(xn+1)yn+1？方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1,yn+1),由于yn+1不准确，所以不能直接用y'(xn+1)代替f(xn+1,yn+1)设已知曲线上一点Pn(xn,yn),过该点作弦线，斜率为(xn+1,yn+1)点的方向场f(x,y)方向,若步长h充分小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。几何意义xnxn+1PnPn+1xyy(x)§1Euler’sMethod隐式欧拉法的局部

8、截断误差：§1Euler’sMethod§1Euler’sMethod隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。§1Euler’sMethod比较尤拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差显式公式隐式公式§1Euler’sMethod若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分/*leadingterm*/而获得更高的精度,称为梯形法§1Euler’sMethod梯形公式/*trapezoidf